szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2015, o 18:29 
Użytkownik

Posty: 146
Lokalizacja: Wrocław
Witam, spotkałem się z takim zadaniem:
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} +x+y+z \ge 6
x,y,z należą do rzeczywistych dodatnich
I moje pytanie, czy jest jakiś szybszy sposób na udowodnienie tego? Bo jedyne co mi przychodzi to pochodna i minimum funkcji, a może ktoś z Was ma jakiś szybszy sposób?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2015, o 18:35 
Użytkownik

Posty: 12860
Lokalizacja: Bydgoszcz
Z AM-GM
x+\frac{1}{x}\geq 2\cdot \sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}=...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2015, o 18:41 
Użytkownik

Posty: 146
Lokalizacja: Wrocław
a4karo, Mógłbyś wytłumaczyć mi to mówiąc kolokwialnie jak krowie na rowie? I nie za bardzo rozumiem o co chodzi Ci z AM-GM, z góry dzięki
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2015, o 18:42 
Użytkownik

Posty: 12860
Lokalizacja: Bydgoszcz
nierównośc międz średnia arytmetyczną i geometryczną: dla dodatnich a,b zachodzi
\sqrt{ab}\leq \frac{a+b}{2}. Udowodnij to sobie - jest proste
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2015, o 18:51 
Użytkownik

Posty: 146
Lokalizacja: Wrocław
Czyli jeśli dobrze rozumuję:
a^{2} +2 \cdot a \cdot b + b^{2}  \ge 4 \cdot a \cdot b\\
 (a-b)^{2}  \ge 0
a to jest spełnione dla każdych liczb dodatnich
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2015, o 18:53 
Użytkownik

Posty: 12860
Lokalizacja: Bydgoszcz
tak własnie
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2015, o 18:54 
Użytkownik

Posty: 146
Lokalizacja: Wrocław
Dzięki bardzo, chyba najwyższa pora nauczyć się paru takich myków :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2015, o 19:16 
Użytkownik

Posty: 1001
Lokalizacja: Polska
Wystarczą po prostu wzory skróconego mnożenia:
\left( \frac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{x} \right) ^2=\frac{1}{x}+x-2 \ge 0
Robiąc tak samo dla y i z i dodając stronami dostajesz tezę.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sty 2016, o 18:01 
Użytkownik

Posty: 144
Lokalizacja: Polska
AndrzejK napisał(a):
Wystarczą po prostu wzory skróconego mnożenia:
\left( \frac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{x} \right) ^2=\frac{1}{x}+x-2 \ge 0
Robiąc tak samo dla y i z i dodając stronami dostajesz tezę.

No tak rzeczywiście :
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} +x+y+z \ge 6

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} +x+y+z - 2 - 2 -2 \ge 0

\left( \frac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{x} \right) ^2 + \left( \frac{1}{\sqrt{y}}-\sqrt{y} \right) ^2 + \left( \frac{1}{\sqrt{z}}-\sqrt{z} \right) ^2  \ge 0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sty 2016, o 19:49 
Użytkownik

Posty: 12860
Lokalizacja: Bydgoszcz
AndrzejK napisał(a):
Wystarczą po prostu wzory skróconego mnożenia:
\left( \frac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{x} \right) ^2=\frac{1}{x}+x-2 \ge 0
Robiąc tak samo dla y i z i dodając stronami dostajesz tezę.


Zauważ, że nierówność między średnią geometryczna i arytmetyczną to właśnie ten wzór skróconego mnożenia :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Iloczyn sum liczby a i kolejnych liczb nieparzystych  Taschon  1
 świat liczb rzeczywistych  jawor  7
 porównywanie liczb rzeczywistych  Tomo  3
 Rozstrzygnij, która z liczb jest większa  Tomasz B  5
 sprawdzanie która z liczb jest większa  czkawka  12
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl