szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2015, o 23:20 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Kraków
Określić, który z podzbiorów R^3 jest jej podprzestrzenią liniową:
a) U_{1} =\left\{ (x,y,z): y=x^2, 2y+z=0\right\}
b) U_{2} =\left\{ (x,y,z): x+y=2x=1\right\}
c) U_{3} =\left\{ (x,y,z): x-y=0, 2y+z=0\right\}
d) U_{4} =\left\{ (x,y,z): x \ge 0\right\}

Nie za bardzo wiem jak wgl się za to zabrać. Poproszę o jakieś wskazówki :)
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
PostNapisane: 7 gru 2015, o 23:36 
Użytkownik
z definicji działaj, jakie warunki masz sprawdzić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2015, o 23:56 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Kraków
Zakładam, że przestrzeń V= R^{3} i mam policzyć, który z z tych podzbiorów U, jest podprzestrzenią liniową tej przestrzeni V?

czyli licząc dla U_{1} mam sprawdzić czy istnieje takie U_{1} _{a}, U_{1} _{b}\in  U_{1} i \alpha_{1}, \alpha_{2} \in R, że \alpha _{1} \cdot U_{1} _{a}+\alpha _{2} \cdot U_{1} _{b} \in U_{1}??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 gru 2015, o 04:46 
Użytkownik

Posty: 1481
Lokalizacja: Kraków
a) Przede wszystkim do każdej podprzestrzeni musi należeć wektor zerowy.
Bierzesz skalary \alpha_1 , \alpha_2 \in \mathbb{R} oraz wektory u_1, u_2 \in U_1.
u_1 = (x_1 , y_1 , z_1 )
u_2 = (x_2 , y_2 , z_2 )
I teraz tak jak napisałeś, sprawdzasz, czy \alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 \in U_1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 gru 2015, o 11:46 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Kraków
NogaWeza napisał(a):
a) Przede wszystkim do każdej podprzestrzeni musi należeć wektor zerowy.
Bierzesz skalary \alpha_1 , \alpha_2 \in \mathbb{R} oraz wektory u_1, u_2 \in U_1.
u_1 = (x_1 , y_1 , z_1 )
u_2 = (x_2 , y_2 , z_2 )
I teraz tak jak napisałeś, sprawdzasz, czy \alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 \in U_1


Nie mam pojęcia jak to zrobić :( mógłbyś rozwiązać mi chociaż przykład a) ? :)

-- 8 gru 2015, o 10:59 --

Rozwiązałem tyle chociaż ten nie wiem skąd bierze się wynik (korzystałem książki)
\alpha_{1} \cdot u_{1}+\alpha_{2}\cdot u_{2}=(\alpha_{1} \cdot x_{1}+\alpha_{2} \cdot x_{2}, \alpha_{1} \cdot y_{1}+\alpha_{2} \cdot y_{2}, \alpha_{1} \cdot z_{1}+\alpha_{2} \cdot z_{2}=(x,y,z)

I co dalej?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 gru 2015, o 03:22 
Użytkownik

Posty: 1481
Lokalizacja: Kraków
W ramach praktyki rozwiązałem sobie te zadania i chciałbym prosić, żeby ktoś kompetentny je sprawdził.

a) No to mamy \left( \mathbb{R}^3, +, \cdot \right) nad \mathbb{R} oraz zadaną rzekomą podprzestrzeń \mbox{U_{1}} =\left\{ (x,y,z): y=x^2, 2y+z=0\right\}.
Biorę sobie dowolne \alpha_1 , \alpha_2 \in \mathbb{R} oraz dowolneu_1 , u_2 \in \mbox{U_1}.
Niech u_1 = \left( x_1 , y_1 , z_1\right) oraz u_2 = \left( x_2 , y_2 , z_2\right).

Na początku zauważam, że wektor zerowy należy do tej podprzestrzeni, bo gdyby nie należał to mógłbym tu zakończyć.

\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 = \alpha_1 \left( x_1, y_1, z_1\right) + \alpha_2 \left( x_2, y_2, z_2\right) =
= (\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 , \alpha_1 y_1 + \alpha_2 y_2, \alpha_1 z_1 + \alpha_2 z_2)=(a,b,c)

Teraz jeśli pokażę, że wektor (a,b,c) spełnia warunki tejże rzekomej podprzestrzeni \mbox{U_1}, to będzie znaczyło, że \left( \forall u_1 , u_2 \in U_1 \right) \quad \left( \forall \alpha_1 , \alpha_2 \in \mathbb{R}\right) \quad \alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 \in \mbox{U_1}, czyli, że rzeczywiście jest to podprzestrzeń.

No to piszę: b = \alpha_1 y_1 + \alpha_2 y_2 = \alpha_1 x_1^2 + \alpha_2 x_2^2 , ale
a^2 = \left( \alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 \right)^2 = (\alpha_1 x_1)^2 + (\alpha_2 x_2 )^2 + 2 \alpha_1 \alpha_2 x_1 x_2
Stąd widać, że b  \neq a^2, wektor \left( a,b,c \right) nie spełnia warunków, czyli jak się okazuje nie jest to podprzestrzeń wektorowa przestrzeni \mathbb{R}^3.

Rezultat nosi znamiona poprawności, bo jeśli w warunkach jest kwadrat, to ciężko chyba, żeby podprzestrzeń była liniowa, prawda? Czy jest to poprawny sposób rozwiązania tego problemu?

Edit: Zajęło mi to tylko 20 dni, ale osobiście otrzymałem kiedyś odpowiedź po ponad 180 dniach, więc i tak relatywnie szybko się wyrobiłem.

b) U_2 nie jest podprzestrzenią, bo wektor zerowy przestrzeni \mathbb{R}^3 nie należy do U_2, tak?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 podprzestrzeń liniowa - zadanie 17  ares41  4
 podprzestrzeń liniowa - zadanie 3  mcmałgosia  3
 podprzestrzen liniowa - zadanie 7  asiula0321  3
 podprzestrzeń liniowa - zadanie 49  madlene  2
 podprzestrzeń liniowa - zadanie 40  tukanik  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl