szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 gru 2015, o 06:01 
Użytkownik

Posty: 17
Lokalizacja: Warszwa
Mam problem z rozwiązaniem następujących rekurencji liniowych:

a) S_{n+1}=2S_{n}+3S_{n-1}
b) S_{n+1}=-2S_{n}-S _{n-1},  S_{0}=1,  S_{1}=-3
c) S_{n+1= 3S_{n}-2S _{n-1}+ 2^{n}

Nie wiem od czego mam zacząć. Za wszystkie odpowiedzi z góry dziękuję.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 gru 2015, o 06:30 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6620
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Zdefiniuj sobie funkcję dla której współczynniki rozwinięcia w szereg potęgowy
będą kolejnymi wyrazami twojego ciągu

S_{n+1}= 3S_{n}-2S _{n-1}+ 2^{n}\\
S_{n}=3S_{n-1}-2S_{n-2}+2^{n-1}\\
G\left( x\right)=\sum_{n=0}^{ \infty }{S_{n}x^{n}} \\
 \sum_{n=2}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}=3\sum_{n=2}^{ \infty }{S_{n-1}x^{n}}-2 \sum_{n=2}^{ \infty }{S_{n-2}x^{n}}+\frac{1}{2} \sum_{n=2}^{ \infty }{2^{n}x^{n}} \\
 \sum_{n=2}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}=3x\sum_{n=2}^{ \infty }{S_{n-1}x^{n-1}}-2x^2\sum_{n=2}^{ \infty }{S_{n-2}x^{n-2}}+  \frac{2x^2}{1-2x} \\
 \sum_{n=2}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}=3x\sum_{n=1}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}-2x^2\sum_{n=1}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}+\frac{2x^2}{1-2x}\\
\sum_{n=0}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}-S_{0}-S_{1}x=3x\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}-S_{0}\right)-2x^2\sum_{n=1}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}+\frac{2x^2}{1-2x}\\
 G\left( x\right)-S_{0}-S_{1}x=3x\left( G\left( x\right)-S_{0} \right)-2x^2G\left( x\right) +\frac{2x^2}{1-2x}\\
G\left( x\right)-S_{0}-S_{1}x=3xG\left( x\right)-3xS_{0} -2x^2G\left( x\right) +\frac{2x^2}{1-2x}\\
G\left( x\right)-3xG\left( x\right)+2x^2G\left( x\right)=S_{0}+\left( S_{1}-3S_{0}\right)x+\frac{2x^2}{1-2x}\\
G\left( x\right)\left( 1-3x+2x^2\right)= \frac{2x^2+\left( S_{0}+\left( S_{1}-3S_{0}\right)x\right) \left( 1-2x\right) }{1-2x}\\
G\left( x\right)\left( 1-2x\right)\left( 1-x\right) = \frac{2x^2+\left( S_{0}+\left( S_{1}-3S_{0}\right)x\right) \left( 1-2x\right) }{1-2x}\\
 G\left( x\right)=\frac{S_{0}-2S_{0}x+\left( S_{1}-3S_{0}\right)x-2\left( S_{1}-3S_{0}\right)x^2 +2x^2 }{\left( 1-2x\right)^2\left( 1-x\right)  }\\
G\left( x\right)=\frac{2\left( 1-S_{1}+3S_{0}\right)x^2+\left( S_{1}-5S_{0}\right)x+S_{0}  }{\left( 1-2x\right)^2\left( 1-x\right)  } \\
G\left( x\right)= \frac{A}{1-2x}+\frac{B}{\left( 1-2x\right)^2 }+\frac{C}{1-x}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 gru 2015, o 14:19 
Użytkownik

Posty: 17
Lokalizacja: Warszwa
Mam rozwiązanie przykładu a)

Może mi ktoś powiedzieć z kąd się wzięło S_{0}=1, S_{1}=2

S_{n+1}= 2S_{n}+3S_{n-1}

q^{n+1}= 2q^{n}+3q ^{n-1}

q^{2}=2q+3

q^{2}-2q-3=0

\Delta=16

\sqrt{\Delta}=4

q _{1}=-1

q_{2}=3

S_{n}= C_{1} \cdot(-1)  ^{n}+ C_{2} \cdot  3^{n}

S_{0}=1

S_{1}=2

\begin{cases}1=C _{1} \cdot  (-1)^{0} + C_{2} \cdot  3^{0}  }   \\ 2= C_{1} \cdot (-1)^{1}+ C_{2} \cdot  3^{1}      \end{cases}
Góra
PostNapisane: 11 gru 2015, o 14:35 
Użytkownik
bolt24 napisał(a):
Mam problem z rozwiązaniem następujących rekurencji liniowych:


b) S_{n+1}=-2S_{n}-S _{n-1},  S_{0}=1,  S_{1}=-3

Nie wiem od czego mam zacząć. Za wszystkie odpowiedzi z góry dziękuję.


Z treści zadania zapewne. Więc albo zła treść albo błędne rozwiązanie masz
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 gru 2015, o 14:38 
Użytkownik

Posty: 17
Lokalizacja: Warszwa
Chodziło mi o przykład a)
Góra
PostNapisane: 11 gru 2015, o 14:39 
Użytkownik
Jeżeli tego nie było w treści to tych warunków z innego miejsca nie weźmiesz
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 gru 2015, o 14:51 
Użytkownik

Posty: 17
Lokalizacja: Warszwa
A jak S_{0},  S_{1} nie są znane, to jak powinno wyglądać rozwiązanie przykładu a)?
Góra
PostNapisane: 11 gru 2015, o 14:53 
Użytkownik
bolt24 napisał(a):
S_{n+1}= 2S_{n}+3S_{n-1}

q^{n+1}= 2q^{n}+3q ^{n-1}

q^{2}=2q+3

q^{2}-2q-3=0

\Delta=16

\sqrt{\Delta}=4

q _{1}=-1

q_{2}=3

S_{n}= C_{1} \cdot(-1)  ^{n}+ C_{2} \cdot  3^{n}


tak
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 gru 2015, o 08:35 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6620
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Twój sposób jest dość ograniczony poza tym dużo w nim zapamiętywania bez uzasadnienia

W sposobie z mojego wcześniejszego wpisu każdy krok jest zrozumiały .
Wystarczy wstawić funkcję zdefiniowaną w postaci szeregu potęgowego
którego współczynnikami są kolejne wyrazy ciągu i równanie samo się rozwiązuje

Jeżeli funkcja ta okaże się funkcją wymierną to do wydobycia wyrazów ciągu
przydatne będą szeregi geometryczne i ich pochodne
Jeżeli funkcja ta nie będzie funkcją wymierną to przydatne będzie np policzenie pochodnej w zerze
i tutaj może być przydatny wzór Leibniza
jeżeli tylko uda nam się zgadnąć wzór na n. pochodną czynników

S_{n+1}=-2S_{n}-S _{n-1},  S_{0}=1,  S_{1}=-3\\
S_{n}=-2S_{n-1}-S_{n-2},S_{0}=1,  S_{1}=-3\\
G\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}\\
\sum_{n=2}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}=-2\left( \sum_{n=2}^{ \infty }{S_{n-1}x^{n}}\right)  - \left( \sum_{n=2}^{ \infty }{S_{n-2}x^{n}}\right) \\
\sum_{n=2}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}=-2x\left( \sum_{n=2}^{ \infty }{S_{n-1}x^{n-1}}\right)  - x^2\left( \sum_{n=2}^{ \infty }{S_{n-2}x^{n-2}}\right) \\
\sum_{n=2}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}=-2x\left( \sum_{n=1}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}\right)  - x^2\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}\right) \\
\sum_{n=0}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}-1+3x=-2x\left(\sum_{n=0}^{ \infty }{S_{n}x^{n}}-1 \right)-x^2\left(\sum_{n=0}^{ \infty }{S_{n}x^{n}} \right)  \\
G\left( x\right)-1+3x=-2x\left( G\left( x\right)-1 \right)-x^2G\left( x\right)\\
G\left( x\right)-1+3x=-2x G\left( x\right)+2x -x^2G\left( x\right)\\
G\left( x\right)\left( 1+2x+x^2\right)=1-x\\
G\left( x\right)= \frac{1-x}{\left( 1+x\right)^2 }\\
G\left( x\right)= \frac{-1-x+2}{\left( 1+x\right)^2 }\\
G\left( x\right)=-\frac{1}{1+x}+\frac{2}{\left( 1+x\right)^2 }\\

\sum_{n=0}^{ \infty }{\left( -1\right)^nx^n }=\frac{1}{1+x}\\
 \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }\left(\sum_{n=0}^{ \infty }{\left( -1\right)^nx^n } \right) = \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }\left(  \frac{1}{ 1+x } \right)  \\
 \sum_{n=0}^{ \infty }{n\left( -1\right)^nx^{n-1} }=-\frac{1}{\left( 1+x\right)^2 }\\
 \sum_{n=1}^{ \infty }{n\left( -1\right)^nx^{n-1} }=-\frac{1}{\left( 1+x\right)^2 }\\
 \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( n+1\right) \left( -1\right)^{n+1}x^{n} }=-\frac{1}{\left( 1+x\right)^2 }\\
 \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( n+1\right) \left( -1\right)^{n}x^{n} }=\frac{1}{\left( 1+x\right)^2 }\\

G\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{-\left( -1\right)^nx^n }+ \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( n+1\right)\left( -1\right)^nx^n  } \\
S_{n}=-\left( -1\right)^n+2\left( n+1\right)\left( -1\right)^n\\
S_{n}=\left( 2n+1\right)\left( -1\right)^{n}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 gru 2015, o 12:47 
Użytkownik

Posty: 15103
Lokalizacja: Bydgoszcz
W powyższym poście autor próbuje przedstawić wykład "O wyższości Świąt Bożego Narodzenia nad Świętami Wielkiej Nocy" (czy ktos jeszcze pamięta ten cykl Jana Tadeusza Stanisławskiego).

Otóż każda metoda jest dobra, jeżeli prowadzi do oczekiwanych wyników. Jedni wola taką, inni wolą zapamiętać parę prostych wzorów. Niestety, uparte trzymanie się tej jednej jedynej prowadzi do rezultatów komicznych, jak np. rozwiązywanie rekurencji a_n=-a_{n-1} metodą szeregów potęgowych (można, tylko jest to łapanie się za własny ogon: potrzebujesz wiedzy o ciągu geometrycznym, żeby stworzyć wzór opisujący ciąg geometryczny http://www.matematyka.pl/395260.htm#p5376195)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 gru 2015, o 13:54 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6620
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Tylko że nauka na pamięć zwiększa prawdopodobieństwo że zapomnimy to czego się nauczyliśmy
no i z matematyki robimy przedmiot humanistyczny jak np język obcy

Mógłbyś uzasadnić postać rozwiązania z wielokrotnymi pierwiastkami
albo dlaczego tak a nie inaczej należy przewidywać rozwiązanie szczególne ?

Z tym rozwiązaniem szczególnym to tutaj także działa uzmiennianie stałych,
też rozwiązujemy układ równań tylko zamiast wyznacznika Wrońskiego
mamy wyznacznik Casoratiego a zamiast całkowania mamy sumowanie
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 gru 2015, o 14:07 
Użytkownik

Posty: 15103
Lokalizacja: Bydgoszcz
mariuszm napisał(a):
Tylko że nauka na pamięć zwiększa prawdopodobieństwo że zapomnimy to czego się nauczyliśmy
no i z matematyki robimy przedmiot humanistyczny jak np język obcy

Mógłbyś uzasadnić postać rozwiązania z wielokrotnymi pierwiastkami
albo dlaczego tak a nie inaczej należy przewidywać rozwiązanie szczególne ?



Widziałeś kiedyś książeczkę Matematyka, poradnik encyklopedyczny, Bronsztejna?
Tam jest całe mnóstwo bardzo przydatnych informacji, których nikt nie uzasadnia: uzasadnieniami zajmowali się uczeni przez kilkaset ostatnich lat. W tej chwili jest to wiedza, której po prostu się używa.
Ktoś opanował wzory, ktoś opanował metodę.

Napisałem tylko tyle, że jedni wolą to, inni co innego i nie nam oceniać co dla kogoś jest łatwiejsze. A w rachunkach z szeregami banalnie łatwo się zamotać...
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcje tworzące,rekurencje,4zadania  jemcole  1
 Rekurencje - metoda iteracyjna  Poszukujaca  20
 rekurencje, zliczanie  gemello  0
 Rozwiąż rekurencję wykorzystując funkcje tworzące - zadanie 10  elc09  5
 Rekurencje I rzędu.  krolik14p  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl