szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 gru 2015, o 05:08 
Użytkownik

Posty: 17
Lokalizacja: Warszwa
Nie mogę sobie poradzić z rozwiązaniem następującego zadania:

Wyznacz wzór ogólny następującego ciągu okresowego:
2,0,-2,0,2,0,-2,0,...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 gru 2015, o 06:35 
Użytkownik

Posty: 15674
Lokalizacja: Bydgoszcz
Wsk. Popatrz na funkcję kosinus.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 gru 2015, o 07:03 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6633
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Możesz sobie ułożyć równanie rekurencyjne

\begin{cases} a_{0}=2\\a_{1}=0 \\ a_{n}=-a_{n-2} \end{cases}

a następnie zdefiniuj sobie funkcję dla której współczynniki rozwinięcia w szereg potęgowy
będą kolejnymi wyrazami twojego ciągu

A\left( x\right)=\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} \\
\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}=-\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-2}x^{n}}\\
\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}=-x^2\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-2}x^{n-2}}\\
\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}-2=-x^2\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}\\
A\left( x\right) -2=-x^2A\left( x\right) \\
A\left( x\right)+x^2A\left( x\right)=2\\
A\left( x\right)\left( 1+x^2\right)=2\\
A\left( x\right)=\frac{2}{1+x^2}\\

A\left( x\right)=\frac{p}{1-ix}+\frac{q}{1+ix}\\
\frac{p}{1-ix}+\frac{q}{1+ix}=\frac{2}{1+x^2}\\
p\left( 1+ix\right)+q\left( 1-ix\right)=2\\
 \begin{cases} p+q=2 \\ i\left( p-q\right)=0  \end{cases}  \\
 \begin{cases} p+q=2 \\ q=p \end{cases} \\
 \begin{cases} p=1 \\ q=1 \end{cases} \\
 A\left( x\right)=\frac{1}{1-ix}+\frac{1}{1+ix}\\
A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{i^nx^n}+ \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( -i\right)^{n}x^{n}}\\
 a_{n}=i^n+\left( -i\right)^n\\

Upraszczając to co otrzymaliśmy korzystając ze wzoru de Moivre dostaniemy to
o czym wspomniał a4karo
\left( \cos{ \frac{\pi}{2} }+i\sin{ \frac{\pi}{2} }\right)^{n}+\left( \cos{ \frac{\pi}{2} }-\sin{ \frac{\pi}{2} }\right)^{n}\\
\cos{ \left( n\frac{\pi}{2}\right)  }+i\sin{\left( n\frac{\pi}{2}\right) }+\cos{\left( n\frac{\pi}{2}\right) }-i\sin{\left( n\frac{\pi}{2}\right) }\\
=2\cos{ \left( n\frac{\pi}{2}\right)  }\\
a_{n}=2\cos{ \left( n\frac{\pi}{2}\right)  }\\
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wariacje z powtorzeniami : wzor  hipero  3
 Ile monitorów można wybrać ?? jaki wzor?  Anonymous  1
 zamiana ciagu rekurencyjnego na ogolny  eoor  1
 [Dyskretna/Kombinacje] Wzór - twierdzenie do udowodnienia  Szczawik  0
 wzór newtona  net  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl