Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Probabilistyka » Kombinatoryka i matematyka dyskretna

Wzór ogólny ciągu okresowego

Strona 1 z 1

[ Posty: 3 ]

Autor

Wiadomość

bolt24 Offline

Tytuł: Wzór ogólny ciągu okresowego

Napisane: 8 gru 2015, o 05:08

Posty: 17
Lokalizacja: Warszwa

Nie mogę sobie poradzić z rozwiązaniem następującego zadania:

Wyznacz wzór ogólny następującego ciągu okresowego:
2,0,-2,0,2,0,-2,0,...

Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019

Góra

a4karo Offline

Tytuł: Wzór ogólny ciągu okresowego

Napisane: 8 gru 2015, o 06:35

Posty: 16180
Lokalizacja: Bydgoszcz

Wsk. Popatrz na funkcję kosinus.

Góra

mariuszm Offline

Tytuł: Wzór ogólny ciągu okresowego

Napisane: 8 gru 2015, o 07:03

Posty: 6649
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E

Możesz sobie ułożyć równanie rekurencyjne

$\begin{cases} a_{0}=2\\a_{1}=0 \\ a_{n}=-a_{n-2} \end{cases}$

a następnie zdefiniuj sobie funkcję dla której współczynniki rozwinięcia w szereg potęgowy
będą kolejnymi wyrazami twojego ciągu

$A\left( x\right)=\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} \\ \sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}=-\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-2}x^{n}}\\ \sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}=-x^2\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-2}x^{n-2}}\\ \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}-2=-x^2\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}\\ A\left( x\right) -2=-x^2A\left( x\right) \\ A\left( x\right)+x^2A\left( x\right)=2\\ A\left( x\right)\left( 1+x^2\right)=2\\ A\left( x\right)=\frac{2}{1+x^2}\\$

$A\left( x\right)=\frac{p}{1-ix}+\frac{q}{1+ix}\\ \frac{p}{1-ix}+\frac{q}{1+ix}=\frac{2}{1+x^2}\\ p\left( 1+ix\right)+q\left( 1-ix\right)=2\\ \begin{cases} p+q=2 \\ i\left( p-q\right)=0 \end{cases} \\ \begin{cases} p+q=2 \\ q=p \end{cases} \\ \begin{cases} p=1 \\ q=1 \end{cases} \\ A\left( x\right)=\frac{1}{1-ix}+\frac{1}{1+ix}\\ A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{i^nx^n}+ \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( -i\right)^{n}x^{n}}\\ a_{n}=i^n+\left( -i\right)^n\\$

Upraszczając to co otrzymaliśmy korzystając ze wzoru de Moivre dostaniemy to
o czym wspomniał a4karo
$\left( \cos{ \frac{\pi}{2} }+i\sin{ \frac{\pi}{2} }\right)^{n}+\left( \cos{ \frac{\pi}{2} }-\sin{ \frac{\pi}{2} }\right)^{n}\\ \cos{ \left( n\frac{\pi}{2}\right) }+i\sin{\left( n\frac{\pi}{2}\right) }+\cos{\left( n\frac{\pi}{2}\right) }-i\sin{\left( n\frac{\pi}{2}\right) }\\ =2\cos{ \left( n\frac{\pi}{2}\right) }\\ a_{n}=2\cos{ \left( n\frac{\pi}{2}\right) }\\$

Góra

Poprzedni | Następny

	Strona 1 z 1	[ Posty: 3 ]

Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Probabilistyka » Kombinatoryka i matematyka dyskretna

Zobacz podobne tematy
Tytuł tematu	Autor	Odpowiedzi
Wariacje z powtorzeniami : wzor	hipero	3
Ile monitorów można wybrać ?? jaki wzor?	Anonymous	1
zamiana ciagu rekurencyjnego na ogolny	eoor	1
[Dyskretna/Kombinacje] Wzór - twierdzenie do udowodnienia	Szczawik	0
wzór newtona	net	1

[Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]