szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2015, o 17:43 
Użytkownik

Posty: 752
Lokalizacja: Warszawa
Wykaż że dla n \in C. Liczba n^3-n jest podzielna przez 6.
Umiem to zrobić z kongruencji albo opisać że jest to iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych.
Ale ja staram się od długiego czasu zrozumieć indukcję matematyczną i chyba się udało. Mam kilka drobnych pytań.

Krok 1. Dla n=1 zachodzi podzielność.
Krok 2. Nasze założenie wygląda tak :\frac{n^3-n}{6}\in C.
Korzystając z założenia chcemy wykazać że \frac{(n+1)^3-(n+1)}{6}\in C
Przekształcamy naszą tezę : \frac{(n^3-n)+3n^2+3n}{6}=\frac{n^3-n}{6}+\frac{3n^2+3n}{6}=\frac{n^3-n}{6}+\frac{3n(n+1)}{6}.
Pierwszy ułamek jest liczbą całkowitą co wynika z założenia.
Drugi uzasadniam że jest to iloczyn liczby3 i liczby parzystej co wynika z iloczynu dwóch kolejnych liczb całkowitych(chociaż tak uzasadniając nie jestem pewien że jest to do końca dowód indukcyjny).

Tylko mam pytanie czemu mogę tak odważnie uzasadnić że pierwszy ułamek jest liczbą całkowitą co wynika z założenia. A może moje założenie jest błędne , a ja tak uzasadniając się tym nie przejmuję?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2015, o 18:18 
Użytkownik

Posty: 13228
Lokalizacja: Bydgoszcz
To jest poprawne uzasadnienie choc rzeczywiście wcześniej powinieneś wykazać, że iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych jest parzysty. Zrób to indukcyjnie :D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2015, o 18:21 
Użytkownik

Posty: 752
Lokalizacja: Warszawa
a4karo napisał(a):
To jest poprawne uzasadnienie choc rzeczywiście wcześniej powinieneś wykazać, że iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych jest parzysty. Zrób to indukcyjnie :D


Właśnie tak pomyślałem że jak ma być indukcyjnie to parzystość tego iloczynu też trzeba wykazać indukcyjnie :P
Aczkolwiek, nadal prosżę o rozwianie wątpliwości z moimi pytaniami.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2015, o 18:46 
Użytkownik

Posty: 13228
Lokalizacja: Bydgoszcz
Cytuj:
Tylko mam pytanie czemu mogę tak odważnie uzasadnić że pierwszy ułamek jest liczbą całkowitą co wynika z założenia. A może moje założenie jest błędne , a ja tak uzasadniając się tym nie przejmuję?


Alez na tym własnie polega zasada indukcji. Mowi ona, że żeby wykazac, że dla każdeho n prawdziwe jest stwierdzenie P(n), wystarczy zrobić dwa kroki: pokazać, że P(1) jest prawdą, oraz pokażąć, że z założenia prawdziwości P(n) wynika prawdziwość P(n+1).

Zatem po prostu zakładasz że P(n) jest prawdą (nie zastanawiając się czy jest, czy nie jest) i przy tym założeniu dowodzisz prawdziwości P(n+1). Jak się uda przeprowadzić taki dowód, to zasada indukcji gwarantuje, że ...
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 16 gru 2015, o 20:51 
Użytkownik

Posty: 1274
Tak na wszelki wypadek, żeby uniknąć czarów-marów, dokończę to wyjaśnienie.

Zasada w tej wersji gwarantuje prawdziwość twierdzenia dlatego, że sprawdzając bazę indukcji ustalamy pewien punkt startowy, a dowodząc wynikania prawdziwości P(n+1) z założenia prawdziwości P(n) dla dowolnego n nie mniejszego od punktu startowego tworzymy nieskończony ciąg wynikań.
Tzn. na podstawie udowodnionej własności P(n)\implies P(n+1) z prawdziwości P(1) (którą sprawdziliśmy bezpośrednio) wynika prawdziwość P(2), z której wynika prawdziwość P(3), z której z kolei wynika prawdziwość P(4) itd. aż do nieskończoności. Tak to działa.
Analogicznie do jednakowych kostek domina ustawionych w jednakowych odstępach - jeżeli sprawdzimy, że potrafimy przewrócić pierwszą oraz że dowolna kostka upadając uderza w następną - to znaczy, że potrafimy przewrócić je wszystkie jednym ruchem.
Oczywiście punktem startowym nie zawsze jest liczba jeden, ale całe rozumowanie nie zmienia się co do zasady.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Klasyczna podzielność  poetaopole  1
 Podzielność przez 24 i 30  karol123  5
 Podzielność zera - zadanie 2  SirMyxir  2
 liczby nieparzyste pirwsze podzielnosc  aga_92  4
 Podzielność przez 81  snm  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl