szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2015, o 22:26 
Użytkownik

Posty: 41
Lokalizacja: Brodnica
Hej,
Mam takie zadanko...
Podać wzór na sumę:
\sum_{k=1}^{n}k(k+1)
To jest chyba dość prosty przykład(później mam trudniejsze), ale nie wiem jak za to się zabrać.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2015, o 22:29 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18347
Lokalizacja: Cieszyn
Można udowodnić, że \sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}. Znając wzór na sumę częściową ciągu arytmetycznego masz zadanie rozwiązane.

Możesz zastosować metodę zaburzania czy też repertuarową. Przewidujesz, że szukana suma ma postać An^3+Bn^2+Cn+D i szukasz tych stałych.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2015, o 23:08 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Postać sumowanego wyrażenia mogłaby sugerować, że przerabiacie rachunek różnicowy:
\sum_{k=1}^{n}k(k+1)= \sum_{1}^{n+1}(k+1)^{\underline{2}}= \frac{(k+1)^{\underline{3}}}{3}|_{1}^{n+1}=\frac{(n+2)^{\underline{3}}}{3}= \frac{n(n+1)(n+2)}{3}

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 gru 2015, o 00:26 
Użytkownik

Posty: 41
Lokalizacja: Brodnica
No właśnie nie mieliśmy jeszcze rachunku, dopiero co mieliśmy logikę i to właśnie w dziale indukcji matematycznej mamy.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 gru 2015, o 00:45 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18347
Lokalizacja: Cieszyn
Więc masz moją wskazówkę.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 gru 2015, o 01:48 
Użytkownik

Posty: 41
Lokalizacja: Brodnica
\sum_{k=1}^{n}k(k+1) = \sum_{k=1}^{n}k^2+k 
=\sum_{k=1}^{n}k^2 + \sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}=\\
=\frac{n(n+1)(2n+1)+3n(n+1)}{6} = \frac{(n+1)(2n^2+4n)}{6}=\frac{(n+1)2n(n+2)}{6}=\\
= \frac{n(n+1)(n+2)}{3}

Chyba się zgadza,
Dziękuje za pomoc :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 gru 2015, o 05:27 
Użytkownik

Posty: 403
Lokalizacja: London ChinaTown
Qń napisał(a):
Postać sumowanego wyrażenia mogłaby sugerować, że przerabiacie rachunek różnicowy:
\sum_{k=1}^{n}k(k+1)= \sum_{1}^{n+1}(k+1)^{\underline{2}}= \frac{(k+1)^{\underline{3}}}{3}|_{1}^{n+1}=\frac{(n+2)^{\underline{3}}}{3}= \frac{n(n+1)(n+2)}{3}

Q.

Jeśli mogę się spytać, co oznacza zapis z dodatkowymi kreskam pionowymi i poziomymi?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 gru 2015, o 10:11 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
258511.htm

Q.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dowód wzoru (indukcja)  ania2005  3
 wzór na sumę sześcianów kolejnych liczb naturalnych  Dianabol  2
 Udowodnić prawdziwość wzoru  ?o?-i?ek  2
 Wykaż prawdziwość wzoru  wikuszka  4
 Wzór na sumę z silnią  Ujemny  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl