szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 gru 2015, o 12:43 
Użytkownik

Posty: 34
Lokalizacja: Brodnica
Uzasadnij, że jeśli w trójkącie kąt między bokami a i b ma miarę 60, to pole tego trójkąta jest równe \frac{1}{4}ab\sqrt{3}.
Jak można rozwiązać to zadanie bez używania wzoru z sinusem?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 gru 2015, o 12:57 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 5074
Lokalizacja: Poznań
Wykonaj rysunek, poprowadź wysokość na jeden z tych boków i wyznacz jej długość przy użyciu drugiego boku trójkąta.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 gru 2015, o 16:57 
Użytkownik

Posty: 34
Lokalizacja: Brodnica
http://www.fotosik.pl/zdjecie/b6e6c88f32053020
Wykonałem taki rysunek, ale nic mi to nie mówi. Wysokość można by wyznaczyć z twierdzenia Pitagorasa lub po prostu z własności trójkąta prostokątnego o kątach 90, 60, 30, ale nie wiem jak inaczej zapisać jedną z przyprostokątnych, którą na rysunku oznaczyłem jako b-x, żeby uzasadnić tą równość z polecenia.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 18 gru 2015, o 17:24 
Moderator

Posty: 3952
Lokalizacja: Kraków PL
Nawet gdy nie użyjesz jawnie funkcji trygonometrycznych, to będą się one „plątać” w tle, chociażby tak:

    b-x=\frac{a}{2}=a\cdot\cos 60^\circ

(z własności trójkąta prostokątnego o kątach 30^\circ i 60^\circ)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 18 gru 2015, o 20:02 
Użytkownik

Posty: 1900
Lokalizacja: Warszawa
Bardzo dobry rysunek.
Rozumiem, że masz dane boki a i b
Zauważ, że h to wysokość trójkąta równobocznego o boku a i równocześnie wysokość całego Twojego trójkąta.
A podstawę b przecież masz daną.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 gru 2015, o 21:30 
Użytkownik

Posty: 34
Lokalizacja: Brodnica
P = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}
a = b
P = \frac{1}{4} ab \sqrt{3}

To wystarczy, czy jakoś inaczej trzeba zapisać?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 19 gru 2015, o 15:37 
Użytkownik

Posty: 1900
Lokalizacja: Warszawa
Ale wcale nie jest
a=b.
To są różne boki, i oba są dane, prawda?

Bok b to podstawa Twojego trójkąta, tego całego dużego.
Żeby obliczyć pole, potrzebujesz znać wysokość tego trójkąta.

P= \frac{1}{2}bh

Popatrz teraz na trójkąt czerwony.
Jakie on ma kąty?
60 stopni , 30 stopni i kąt prosty. Czyli jest to połówka trójkąta równobocznego, którego bokiem jest Twój bok a, a wysokością szukane h

h= \frac{a \sqrt{3} }{2}

Teraz wstawiasz do wzoru na pole

P= \frac{1}{2}bh=\frac{1}{2}b \cdot \frac{a \sqrt{3} }{2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 gru 2015, o 15:52 
Użytkownik

Posty: 34
Lokalizacja: Brodnica
Dziękuję, teraz już rozumiem. Chyba jednak łatwiej byłoby to zrobić wykorzystując wzór P =  \frac{1}{2}ab\sin\alpha
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 19 gru 2015, o 16:59 
Użytkownik

Posty: 1900
Lokalizacja: Warszawa
Owszem, łatwiej było :)
Ale możesz dostać zadanie: wyprowadź wzór nie wykorzystując funkcji trygonometrycznych.
Warto wiedzieć, jak to zrobić.
Poza tym, warto umieć wykorzystywać zależności w trójkącie równobocznym, i rozpoznawać jego połówki.
Podobnie z kwadratem.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 19 gru 2015, o 20:18 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10840
Lokalizacja: Wrocław
Alternatywne rozwiązanie: z twierdzenia cosinusów wyznaczasz długość boku leżącego naprzeciw kąta 60^{\circ} w terminach a i b, a następnie używasz wzoru Herona.
:twisted: :mrgreen:

-- 19 gru 2015, o 20:18 --

Pisałem to dla jaj, żeby nie było wątpliwości.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 gru 2015, o 20:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3500
Lokalizacja: PWr ocław
qwerty355 napisał(a):
Jak można rozwiązać to zadanie bez używania wzoru z sinusem?

Wzór z sinusem jest naturalny i łatwy do wyprowadzenia - myślę, że nie ma nic złego w jego użyciu w tym zadaniu nawet niejawnie :P
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 9 wzorów na pole trójkąta  Anonymous  12
 Oblicz wysokość trójkąta równoramiennego  Anonymous  1
 Oblicz długośći boków trójkąta. Dany obwód i pole  Anonymous  11
 Oblicz pole trójkąta - podobieństwo trójkątów  Anonymous  2
 Przy jakiej długości boków trójkąta obwód jest najm  Anonymous  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl