szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 18 gru 2015, o 14:45 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Wawa
Witam,
mam zadana taka zaleznosc rekurencyjna:
a_{n} = 5  a_{n-1} -6a_{n-2} + 6 \cdot  5^{n-2}, a_{0} =0, a_{1} =5

Chce stworzyc z tego f.tworzącą, rozpisuję to w taki sposob:
f(x) = 0 \cdot  x^{0} +5 \cdot x^{1} + \sum_{n=2}^{ \infty } (5  a_{n-1} -6a_{n-2} + 6 \cdot  5^{n-2}) = 5x + \sum_{n=2}^{ \infty } 5 a_{n-1} \cdot  x^{n} + \sum_{n=2}^{ \infty } -6 a_{n-2} \cdot  x^{n} + \sum_{n=2}^{ \infty } 6 \cdot  5^{n-2}   \cdot  x^{n} = 5x + 5\sum_{n=1}^{ \infty } a_{n} \cdot  x^{n} -6 \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n} \cdot  x^{n} + 6\sum_{n=0}^{ \infty }  5^{n}   \cdot  x^{n} = 5x + 5(0+f(x)) -6f(x) + ???

Jak rozpisac: \sum_{n=0}^{ \infty }  5^{n}   \cdot  x^{n} ?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 gru 2015, o 14:49 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3272
Lokalizacja: blisko
\frac{1}{1-5x}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 gru 2015, o 15:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6620
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Suma nieskończonego ciągu geometrycznego
(Dla wyjaśnienia tego co napisał arek1357, )

a_{n} = 5  a_{n-1} -6a_{n-2} + 6 \cdot  5^{n-2}, a_{0} =0, a_{1} =5\\
f\left( x\right)=\sum_{n=0}^{ \infty }\\
 \sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}=5\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-1}x^{n}} -6\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-2}x^{n}} +6 \sum_{n=2}^{ \infty }{5^{n-2}x^{n}}\\
\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}=5x\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-1}x^{n-1}} -6x^2\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-2}x^{n-2}} +6x^2 \sum_{n=2}^{ \infty }{5^{n-2}x^{n-2}}\\
\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}=5x\sum_{n=1}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} -6x^2\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} +6x^2 \sum_{n=0}^{ \infty }{5^{n}x^{n}}\\
 \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}-5x-0=5x\left(\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} -0\right) -6x^2\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}+\frac{6x^2}{1-5x}\\
 \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}=5x\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}-6x^2\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}+5x+\frac{6x^2}{1-5x}\\
\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}\left( 1-5x+6x^2\right)=\frac{-19x^2+5x}{1-5x} \\
f\left( x\right)\left( 1-2x\right)\left( 1-3x\right)=\frac{-19x^2+5x}{1-5x}\\
f\left( x\right)= \frac{-19x^2+5x}{\left( 1-2x\right)\left( 1-3x\right)\left( 1-5x\right)   }
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 gru 2015, o 18:25 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3272
Lokalizacja: blisko
Tak a teraz wyszeregować to radzę wolframem ręcznie to udręka
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 gru 2015, o 19:36 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6620
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
arek1357, przesadzasz funkcja jest wymierna a pierwiastki mianownika rzeczywiste i jednokrotne więc można w pamięci rozłożyć na sumę sum nieskończonego ciągu geometrycznego

Mnie trochę nie podobało się że nie wyciągnął x^2
z szeregu reprezentującego część niejednorodną dlatego chciałem policzyć tę funkcję tworzącą

Ja podam do przećwiczenia taki ciąg rekurencyjny

\begin{cases} a_{78}=25 \\ a_{79}=25.4\\a_{80}=25.7\\a_{n}=a_{n-3}+1 \end{cases}

Do rozwinięcia funkcji tworzącej w szereg proponuję rozłożyć ją na sumę ułamków postaci

\frac{A_{km}}{\left( 1-\lambda_{m}x\right)^{k} }

a następnie skorzystać ze wzoru na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego

W przypadku pierwiastków wielokrotnych mamy do dyspozycji
1) różniczkowanie szeregu geometrycznego
2) wzór dwumianowy Newtona
3) wzór na iloczyn szeregów Cauchyego

Działania na zespolonych proponuję wykonać na postaci trygonometrycznej
Na postaci trygonometrycznej można mnożyć i potęgować (wzór de Moivre)
a argumenty można dosyć łatwo znaleźć

Wzór na iloczyn szeregów Cauchyego
oraz wzór Leibniza na n. pochodną iloczynu może się przydać
gdy będziesz rozwiązywać równania rekurencyjne z wykładniczą funkcją tworzącą

Dobry wybór jeśli chodzi o liniowe równania rekurencyjne
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 gru 2015, o 12:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3272
Lokalizacja: blisko
No masz rację może i nie taka udręka
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 gru 2015, o 12:29 
Użytkownik

Posty: 15096
Lokalizacja: Bydgoszcz
Cytuj:
\begin{cases} a_{78}=25 \\ a_{79}=25.4\\a_{80}=25.7\\a_{n}=a_{n-3}+1 \end{cases}


Nie wiem jak Wy, ale ja to robię tak
Niech b_n=a_n+\alpha n. Wtedy a_n=b_n-\alpha n=a_{n-3}=b_{n-3}-\alpha(n-3)+1, czyli
b_n=b_{n-3}+3\alpha+1.
Zatem dla \alpha=-1/3 stwierdzam, że ciag b_n składa się z trzech przeplecionych ze sobą ciągów stałych. Stąd banalnie wyliczam to, co trzeba.

Oczywiście świetnie jest znać teorię, ale narzędzia warto dobierać proporcjonalnie do wagi problemu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 gru 2015, o 20:12 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6620
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
a4karo, ale rozwiązując z użyciem funkcji tworzącej zrozumiały jest każdy krok metody
poza tym temat jest o funkcji tworzącej
Jeśli chodzi o to podstawienie to tacy jak ja czy Janusz mogą nie wiedzieć skąd się ono wzięło


Ten ciąg wziąłem na podstawie tabeli rozmiarów obuwia
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Mały problem z funkcją tworzącą  kogutto  1
 Przeliczanie zbiorów oraz f. tworząca  dyskretny  0
 Znajdz funkcje tworzaca ciagu  brasco  0
 Ile jest liczb...; funkcja tworząca; wzór jawny.  marta81  1
 funkcja generująca  iwazach  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl