szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 gru 2015, o 21:08 
Użytkownik

Posty: 61
Lokalizacja: aaaaaaaaaaaa
Liczby x, y są dodatnie oraz x+y=2. Pokazać, że x^n+y^n \ge 2 dla każdej dodatniej liczby całkowitej n.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 gru 2015, o 21:34 
Użytkownik

Posty: 403
Lokalizacja: London ChinaTown
To szacowanie raczej niewiele daje. (Ups, post Chewbacka skasowany) W każdym razie proponuję coś innego. Ponieważ x^{n} jest funkcją wypukłą możemy skorzystać z nierówności Jensena. Wówczas \left( \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} y \right) ^{n}  \le \frac{1}{2} x^{n} + \frac{1}{2} y^{n}  \Leftrightarrow  \frac{1}{2^{n-1}} \left( x+y \right) ^{n} = 2 \le x^{n}+y^{n}

Link do nierówności Jensena https://pl.wikipedia.org/wiki/Nier%C3%B ... 87_Jensena
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 gru 2015, o 23:36 
Administrator

Posty: 20557
Lokalizacja: Wrocław
Albo wprost z nierówności pomiędzy średnimi potęgowymi:

\sqrt[n]{\frac{x^n+y^n}{2}}\ge\frac{x+y}{2}.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 gru 2015, o 00:48 
Moderator

Posty: 1869
Lokalizacja: Trzebiatów
albo :
x^{n} + y^{n} =\left(  x^{n} + 1 + ... + 1\right)  +\left(  y^{n} + 1 + ... + 1 \right)  - 2\left( n-1\right)  \ge n\left( x + y\right) - 2\left( n-1\right) = 2
W każdym nawiasie mamy n - 1 jedynek. Uzywamy sredniej geometrycznej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 gru 2015, o 02:20 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9856
Lokalizacja: Wrocław
Można też użyć nierówności Bernoulliego:
x^{n}+y^{n}=(1+x-1)^{n}+(1+1-x)^{n} \ge 1+n(x-1)+1+n(1-x)=2
Założenia są spełnione, bo skoro x,y są dodatnie oraz x+y=2, to x,y \in (0,2), a zatem zarówno 1-x=y-1, jak i x-1 są większe od -1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 gru 2015, o 11:39 
Użytkownik

Posty: 12578
Lokalizacja: Bydgoszcz
:) Można i tak:

Średnie Gini zdefiniowane jako
G(r,s;x,y)=
\begin{cases}
\left(\frac{x^r+y^r}{x^s+y^s}\right)^{1/(r-s)}& r\neq s\\
\exp\left(\frac{x^r\log x+y^r\log y}{x^r+y^r}\right) & r=s
\end{cases}

są ściśle rosnące względem obu zmiennych r i s. Zatem w szczególności G(\alpha,0;x,y)>G(1,0;x,y)=\frac{x+y}{2} dla \alpha >1 i x\neq y, a odwrotna nierówność zachodzi dla \alpha<1.

Stąd wniosek, że
x^\alpha+y^\alpha>2 dla \alpha\in(-\infty,0)\cup (1,\infty) i x+y=2, x\neq y, a odwrotna nierówność zachodzi dla 0<\alpha<1 :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Nierownosc Czebyszewa - kiedy rownosc?  Linka  1
 Nierówność - zadanie 9  koala  5
 Nierówność - zadanie 11  Keira  3
 udowodnij nierówność - zadanie 2  Pshczoolka  1
 Czy zachodzi nierówność ?  alexandra  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl