szukanie zaawansowane
 [ Posty: 17 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 gru 2015, o 23:35 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: O09H
Witam, mam pewne zadanie do którego nie posiadam odpowiedzi.
Nie jestem pewien czy moje rozwiązania sa poprawne.

Wykaż że dla dowolnych a,b,c\in\mathbb{R} zachodzą nierówności,

h) a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+ac+bc dla a,b,c\in\mathbb{R}
Cytuj:
\left(a+b+c\right)^{2}\geq0
a^{2}+2ab+2ac+b^{2}+2bc+c{}^{2}\geq0
a^{2}+b^{2}+c{}^{2}\geq-\left(2ab+2ac+2bc\right)
a^{2}+b^{2}+c{}^{2}\geq-2\left(ab+ac+bc\right)
a^{2}+b^{2}+c{}^{2}\geq-2\,\land\,a^{2}+b^{2}+c{}^{2}\geq\left(ab+ac+bc\right)
a^{2}+b^{2}+c{}^{2}\geq\left(ab+ac+bc\right) c.n.d


g) \left(a>0\,\land\,b>0\right)\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\geq4
Cytuj:
\left(a+b\right)\left(\frac{a+b}{ab}\right)\geq4
\left(a+b\right)\left(a+b\right)\frac{1}{ab}\geq4
\left(a+b\right)^{2}\frac{1}{ab}\geq4
\left(a^{2}+2ab+b^{2}\right)\frac{1}{ab}\geq4
a^{2}+2ab+b^{2}\geq4ab
a^{2}+2ab+b^{2}-4ab\geq0
a^{2}-2ab+b^{2}\geq0
\left(a-b\right)^{2}\geq0 c.n.d


f) a^{2}+b^{2}+2\geq2\left(a+b\right)
Cytuj:
a^{2}+1+b^{2}+1\geq2a+2b
(a^{2}-2a+1)+(b^{2}-2b+1)\geq0
\left(a-1\right)^{2}+\left(b-1\right)^{2}\geq0 c.n.d


e) \left(a>0\,\land\,b>0\right)\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq2
Cytuj:
\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq2
\frac{a^{2}+b^{2}}{ab}\geq2
a^{2}+b^{2}\geq2ab
a^{2}+b^{2}-2ab\geq0
\left(a-b\right)^{2}>0 c.n.d


d) \left(a>0\,\land\,b>0\right)\Rightarrow\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\leq\sqrt{ab}
Cytuj:
\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\leq\sqrt{ab}
\frac{4}{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^{2}}\leq ab
4\leq ab\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^{2}
4\leq ab\left(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{2}{ab}\right)
4\leq\frac{ab}{a^{2}}+\frac{ab}{b^{2}}+2
4\leq\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+2
2\leq\frac{b}{a}+\frac{a}{b}
2\leq\frac{b^{2}}{ab}+\frac{a^{2}}{ab}
2\leq\frac{a^{2}+b^{2}}{ab}
2ab\leq a^{2}+b^{2}
0\leq a^{2}+b^{2}-2ab
\left(a-b\right)^{2}\geq0 c.n.d


c) a<b\Rightarrow a<\frac{a+b}{2}<b
Cytuj:
a<\frac{a+b}{2}<b\Rightarrow a<\frac{a+b}{2}\,\land\,b>\frac{a+b}{2}
2a<a+b\,\land\,2b>a+b
2a<a+b\,\land\,-2b<-a-b
2a-2b<a+b+\left(-a-b\right)
2a-2b<a+b-a-b
2a<2b
a<b c.n.d


b) \left(a\geq0\,\land\,b\geq0\right)\Rightarrow\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}
Cytuj:
\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}
\frac{\left(a+b\right)^{2}}{4}\geq ab
\left(a+b\right)^{2}\geq4ab
a^{2}+b^{2}+2ab\geq4ab
a^{2}+b^{2}-2ab\geq0
\left(a-b\right)^{2}\geq0 c.n.d


a) a^{2}+b^{2}\geq2ab
Cytuj:
a^{2}+b^{2}-2ab\geq0
\left(a-b\right)^{2}\geq0 c.n.d


Czy mógłby ktoś sprawdzić poprawność moich rozwiązań ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sty 2016, o 00:37 
Użytkownik

Posty: 754
Lokalizacja: Warszawa
lukaszml napisał(a):
Witam, mam pewne zadanie do którego nie posiadam odpowiedzi.
Nie jestem pewien czy moje rozwiązania sa poprawne.

Wykaż że dla dowolnych a,b,c\in\mathbb{R} zachodzą nierówności,

h) a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+ac+bc dla a,b,c\in\mathbb{R}
Cytuj:
\left(a+b+c\right)^{2}\geq0
a^{2}+2ab+2ac+b^{2}+2bc+c{}^{2}\geq0
a^{2}+b^{2}+c{}^{2}\geq-\left(2ab+2ac+2bc\right)
a^{2}+b^{2}+c{}^{2}\geq-2\left(ab+ac+bc\right)
a^{2}+b^{2}+c{}^{2}\geq-2\,\land\,a^{2}+b^{2}+c{}^{2}\geq\left(ab+ac+bc\right)
a^{2}+b^{2}+c{}^{2}\geq\left(ab+ac+bc\right) c.n.d



Ale tutaj niczego nie wykazaleś, do poprawy. Reszta ok.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sty 2016, o 01:46 
Administrator

Posty: 21373
Lokalizacja: Wrocław
Milczek napisał(a):
Reszta ok.

No nie całkiem. Poprawne to mogą być rachunki, ale brakuje komentarza, który jest niezbędny zwłaszcza wtedy, gdy przekształcamy tezę (przekształcenia muszą być równoważne - jak tego nie zaznaczymy, to istnieje podejrzenie, że wnioskujemy z tezy) oraz gdy korzystamy z założeń (należałoby wskazać, gdzie korzystamy).

I tak na przykład rozwiązanie zapisane w ten sposób:
lukaszml napisał(a):
c) a<b\Rightarrow a<\frac{a+b}{2}<b
Cytuj:
a<\frac{a+b}{2}<b\Rightarrow a<\frac{a+b}{2}\,\land\,b>\frac{a+b}{2}
2a<a+b\,\land\,2b>a+b
2a<a+b\,\land\,-2b<-a-b
2a-2b<a+b+\left(-a-b\right)
2a-2b<a+b-a-b
2a<2b
a<b c.n.d

jest niepoprawne z tej prostej przyczyny, że tutaj jawnie zadeklarowaliśmy, że z tezy wnioskujemy założenie, a to przecież nie o to chodzi.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sty 2016, o 04:26 
Użytkownik

Posty: 13581
Lokalizacja: Bydgoszcz
CZy naprawdę uważacie, że to rozumowanie jest poprawne:
Cytuj:
a^{2}+b^{2}+c{}^{2}\geq-2\left(ab+ac+bc\right)\\
a^{2}+b^{2}+c{}^{2}\geq-2\,\land\,a^{2}+b^{2}+c{}^{2}\geq\left(ab+ac+bc\right)


?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sty 2016, o 07:02 
Moderator

Posty: 1936
Lokalizacja: Trzebiatów
W pierwszej odpowiedzi zwrócono na to uwagę.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sty 2016, o 17:33 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: O09H
Jan Kraszewski napisał(a):
Milczek napisał(a):
Reszta ok.

No nie całkiem. Poprawne to mogą być rachunki, ale brakuje komentarza, który jest niezbędny zwłaszcza wtedy, gdy przekształcamy tezę (przekształcenia muszą być równoważne - jak tego nie zaznaczymy, to istnieje podejrzenie, że wnioskujemy z tezy) oraz gdy korzystamy z założeń (należałoby wskazać, gdzie korzystamy).

I tak na przykład rozwiązanie zapisane w ten sposób:
lukaszml napisał(a):
c) a<b\Rightarrow a<\frac{a+b}{2}<b
Cytuj:
a<\frac{a+b}{2}<b\Rightarrow a<\frac{a+b}{2}\,\land\,b>\frac{a+b}{2}
2a<a+b\,\land\,2b>a+b
2a<a+b\,\land\,-2b<-a-b
2a-2b<a+b+\left(-a-b\right)
2a-2b<a+b-a-b
2a<2b
a<b c.n.d

jest niepoprawne z tej prostej przyczyny, że tutaj jawnie zadeklarowaliśmy, że z tezy wnioskujemy założenie, a to przecież nie o to chodzi.

JK


Hmm.. myślałem że o to chodzi, bierzemy teze, upraszczamy do najprostrzej postaci logicznej i definiujemy czy jest to prawda czy fałsz przez co dowodzimy zgoności bądz obalamy teze. Jak należy poprawnie wykonać dowód do tego przykładu ?

a4karo napisał(a):
CZy naprawdę uważacie, że to rozumowanie jest poprawne:
Cytuj:
a^{2}+b^{2}+c{}^{2}\geq-2\left(ab+ac+bc\right)\\
a^{2}+b^{2}+c{}^{2}\geq-2\,\land\,a^{2}+b^{2}+c{}^{2}\geq\left(ab+ac+bc\right)


?


Właśnie ten przykład h) robilem na czuja, nie jestem jego pewny, czy jesteś wstanie pokazać mi poprawne rozwiązanie ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sty 2016, o 18:01 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 435
Lokalizacja: Glasgow
Pomnóż stronami przez dwa: 2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}\ge 2ab+2ac+2bc i przerzuć wszystko na jedną stronę. Co możesz teraz zrobić? :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sty 2016, o 18:26 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: O09H
2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}\ge2ab+2ac+2bc
2a^{2}-2ab-2ac+2b^{2}-2bc+2c^{2}\ge0
\left(a-b-c\right)^{2}\geq0

Heh, o to chodziło tak :D ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sty 2016, o 18:27 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 435
Lokalizacja: Glasgow
Raczej o to: a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc + c^2 + c^2 - 2ac + a^2  \ge 0 :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sty 2016, o 18:36 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: O09H
Fail :D
więc dostane \left(a-b-c\right)^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq0
\left(a-b-c\right)^{2}\geq0 no i a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq0 zgadza się :D

PS. Jak jeszcze nie masz dość zajrzyj na przykład c) co jest w nim nie tak ?
W założeniach mamy a<b i po przekształceniach tezy dostałem a<b co pokrywa się z założeniami.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sty 2016, o 18:43 
Użytkownik

Posty: 754
Lokalizacja: Warszawa
lukaszml napisał(a):
Fail :D
więc dostane \left(a-b-c\right)^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq0
\left(a-b-c\right)^{2}\geq0 no i a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq0 więc się zgadza :D

Chewbacca97 napisał(a):
Raczej o to: a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc + c^2 + c^2 - 2ac + a^2  \ge 0 :)

\left( a-b\right)^2+\left( b-c\right)^2+\left( c-a\right)^2 \ge 0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sty 2016, o 18:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 435
Lokalizacja: Glasgow
Nie, bo: \left(a-b-c\right)^{2} = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac {\red +} 2bc
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sty 2016, o 18:47 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: O09H
O kurde, no comment :D
A jak wygląda poprawny dowód w c) ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sty 2016, o 18:50 
Użytkownik

Posty: 754
Lokalizacja: Warszawa
Powinieneś wyjść z założenia i równoważnie przekształcać. I tam gdzie wymaga tego komentarz , uzasadnić przekształcenie.

-- 1 sty 2016, o 20:41 --

Pryzkad c) to chyba było by tak :
Skoro a<b to dodajemy stronami a i mamy 2a<a+b  \Leftrightarrow a<\frac{a+b}{2}. Analogicznie teraz do założenia dodajemy stronami b i mamy
a+b<2b  \Leftrightarrow \frac{a+b}{2}<b. I to na tyle.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sty 2016, o 20:49 
Użytkownik

Posty: 144
Lokalizacja: Polska
a4karo napisał(a):
CZy naprawdę uważacie, że to rozumowanie jest poprawne:
Cytuj:
a^{2}+b^{2}+c{}^{2}\geq-2\left(ab+ac+bc\right)\\
a^{2}+b^{2}+c{}^{2}\geq-2\,\land\,a^{2}+b^{2}+c{}^{2}\geq\left(ab+ac+bc\right)
?

Jak dla mnie jest totalną bzdurą, aczkolwiek rzeczywiście suma tych potęg będzie zawsze większa od -2 ale nigdy nie równe , natomiast drugie wyrażenie to kopia zadania, czyli stoimy w miejscu...
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 17 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Poprawność dowodu - zadanie 4  ceanseer  7
 Poprawność dowodu na prostą nierówność.  dawid.barracuda  5
 Poprawność zadania.  laewqq  1
 Poprawność obliczeń - zadanie 2  patrakus  8
 Poprawność dowodu - zadanie 2  ceanseer  25
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl