szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 sty 2016, o 12:48 
Użytkownik

Posty: 73
Dodatnie liczby a, b i c spełniają równanie a+b+c=1. Uzasadnij, że \frac{a(b+1)}{b+c}+ \frac{b(c+1)}{c+a}+ \frac{c(a+1)}{a+b} \ge 2. Wiem, że 2=(b+c)+(c+a)+(a+b), ale nie mam pomysłu, jak to spostrzeżenie wykorzystać.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 sty 2016, o 12:55 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17713
Lokalizacja: Cieszyn
Z jakiego to konkursu? Podaj datę i źródło zadania. Dopiero wtedy możemy rozpocząć pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 sty 2016, o 13:17 
Użytkownik

Posty: 73
Zadanie pochodzi prawdopodobnie z 2007 roku z konkursu im. Mariana Rejewskiego.
35284.htm
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 sty 2016, o 16:04 
Użytkownik

Posty: 744
Lokalizacja: Warszawa
Ps. Pięknie tutaj skłamałem przepraszam, jak uda mi się to naprawię. Chowam aby nie wprowadzać w błąd.
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 sty 2016, o 16:35 
Moderator

Posty: 1892
Lokalizacja: Trzebiatów
Wystarczy przekształcić do nierówności pokazanej w temacie zlinkowanym i udowodnić tą ostatnią nierówność.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 sty 2016, o 16:47 
Użytkownik

Posty: 744
Lokalizacja: Warszawa
Niemożliwe , znów źle , za słaby jestem na takie zadania, ostatnia nierówność jest fałszywa.
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 sty 2016, o 17:06 
Moderator

Posty: 1892
Lokalizacja: Trzebiatów
1 = \left( a+b+c\right)^{2}  \ge 3\left( ab+bc+ac\right)
Równość musi zajsć dla a = b = c =  \frac{1}{3}, nie możesz udowodniać tej nierówności korzystając z nierówności ostrych.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 2 sty 2016, o 17:12 
Użytkownik

Posty: 1251
Jeśli się nie mylę, to przy danym warunku jest \frac{a(b+1)}{b+c}=-b+\frac{a+b}{b+c}, tzn. po przeniesieniu ujemnych na prawo wystarczy AM-GM.

EDIT: Bardzo podobny chwyt można wykorzystać np. w kluczowym kroku w dowodzie \frac{a^2+bc}{b+c}+\frac{b^2+ca}{c+a}+\frac{c^2+ab}{a+b}\ge a+b+c dla a,b,c>0.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2016, o 15:30 
Użytkownik

Posty: 73
Mam pytanie co do tej ostatniej nierówności.
\frac{a^2+bc}{b+c}= \frac{ a^{2}- b^{2}+ b^{2}+bc   }{b+c}=  \frac{a^{2}- b^{2}}{b+c} +b
Po podobnych przekształceniach dla pozostałych składników sumy wyjściowa nierówność przyjmuje postać
\frac{ a^{2}- b^{2}  }{b+c}+ \frac{ b^{2}- c^{2}  }{c+a}+ \frac{ c^{2}- a^{2}  }{a+b} \ge 0.
Nie mogłem zastosować tu nierówności AM-GM. Ostatecznie dostałem coś takiego
a^{3}+ b^{3}+ c^{3} \ge b a^{2}+c b^{2}+a c^{2}. I tu utknąłem.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 sty 2016, o 15:49 
Użytkownik

Posty: 1251
Zobacz, co Ci da \frac{a^2+bc}{b+c}+a

EDIT: Nie śledziłam czy nierówność, na której utknąłeś, rzeczywiście wynika z pierwszej, ale wydaje się nietrudna, bo z AM-GM 2a^3+b^3\ge 3a^2b.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2016, o 16:45 
Użytkownik

Posty: 73
Rozwiązałem na dwa sposoby. Dziękuję wszystkim za pomoc.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Nierownosc Czebyszewa - kiedy rownosc?  Linka  1
 Nierówność - zadanie 9  koala  5
 Nierówność - zadanie 11  Keira  3
 udowodnij nierówność - zadanie 2  Pshczoolka  1
 Czy zachodzi nierówność ?  alexandra  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl