szukanie zaawansowane
 [ Posty: 13 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sty 2016, o 21:08 
Użytkownik

Posty: 44
Lokalizacja: Polska
Mam problem jak rozwiązać równanie różnicowe niejednorodne:
a_{n} =  2a_{n-1} - a_{n-2} + 2^{n} + 4
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sty 2016, o 21:11 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18499
Lokalizacja: Cieszyn
A jednorodne potrafisz rozwiązać? Potem wymyśl rozwiązanie szczególne i dodaj je do rozwiązania ogólnego rekurencji jednorodnej.

To tak samo jak w równaniach różniczkowych liniowych wyższych rzędów.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sty 2016, o 21:25 
Użytkownik

Posty: 44
Lokalizacja: Polska
Dla jednorodnego mam pierwiastek podwójny r=1 podstawiam do wzoru i mam
a_{n} = A + Bn. W tym momencie nie za bardzo rozumiem co oznacza "wymyśl rozwiązanie szczególne" tzn. na forum widziałem, że niektórzy piszą "podstawiam nC, ale wychodzi sprzeczność to podstawiam n^{2}C. Tylko nie za bardzo rozumiem o co chodzi z tym podstawianiem :/
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sty 2016, o 21:29 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18499
Lokalizacja: Cieszyn
Spróbuj podstawić a_n=A\cdot 2^n+B dobierając A,B tak, aby a_n spełniało to równanie niejednorodne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sty 2016, o 21:37 
Użytkownik

Posty: 44
Lokalizacja: Polska
Sory za niezrozumienie, ale co do czego mam podstawić?

Zapomniałem dodatkowo dopisać, że a_{0} = a_{1} = 0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sty 2016, o 21:43 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18499
Lokalizacja: Cieszyn
Dobierz stałe A,B tak, aby ciąg o wyrazie ogólnym a_n=A\cdot 2^n+B spełniał równanie niejednorodne, ale bez warunków początkowych. Potem napisz ogólne rozwiązanie tej rekurencji. Warunki początkowe uwzględnisz dopiero wtedy.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sty 2016, o 21:50 
Użytkownik

Posty: 44
Lokalizacja: Polska
okey, zrozumiałem po chwili namysłu i A = 2, B = 4, tylko skąd wiadomo, że takie trzeba dobrać? Tzn. dla wyrażenia np. a_{n} = a_{n-1} + 3^{n} + n trzeba byłoby podstawić coś typu: A3^{n} + Bn + C??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sty 2016, o 21:55 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18499
Lokalizacja: Cieszyn
Tak. Jednak ze względu na postać rozwiązania rekurencji jednorodnej chyba trzeba by tu brać a_n=n(A\cdot 3^n+Bn+C), ale głowy nie daję.

Tu jest analogia z metodą przewidywań dla równań różniczkowych liniowych. Stąd mniej więcej wiadomo, co podstawiać.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sty 2016, o 22:27 
Użytkownik

Posty: 44
Lokalizacja: Polska
a_{n} - 2a_{n-1} + a_{n-2} = 2^{n} + 4

Podstawiam a_{n} = A2^{n} + B

A2^{n} + B - A2^{n} -2B + A2^{n-2} + B = 2^{n} + 4

A2^{n-2} = 2^{n} + 4

B skróciło się, tzn., że powinienem podstawić coś innego?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sty 2016, o 22:36 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18499
Lokalizacja: Cieszyn
Tak, próbować inaczej przewidzieć. Może n(A\cdot 2^n+4)? Ja systematycznie takich rzeczy nie rozwiązuję, ale zdarzyło mi się poznać tę metodę. Więc sposób przewidywania mógł mi uciec.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sty 2016, o 23:29 
Użytkownik

Posty: 44
Lokalizacja: Polska
Należy podstawić a_{n} = A2^{n} + Bn^{2}
Otrzymujemy, że A = 4, a B = 2
następnie dodajemy to do wzoru z równania jednorodnego i dostajemy:
a_{0} = 0 = A + B*0 + 2^{0+2} + 2*0^{2}
a_{1} = 0 = A + B + 2^{1+2} + 2*1^{2}

Ostatecznie otrzymujemy wzór: a_{n} = -4 + -6n + 2^{n+2} + 2n^{2}

Wielkie dzięki za pomoc :D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 sty 2016, o 02:49 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6635
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Gdybyś rozwiązywał z użyciem funkcji tworzącej to byś wszystko widział
Bez warunków początkowych będziesz musiał bawić się stałymi

a_{n} =  2a_{n-1} - a_{n-2} + 2^{n} + 4\\
A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty } {a_{n}x^{n}}\\ 
 \sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}= \sum_{n=2}^{ \infty }{2a_{n-1}x^{n}}-\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-2}x^{n}}+\sum_{n=2}^{ \infty }{2^{n}x^{n}} +\sum_{n=2}^{ \infty }{4x^{n}}\\
\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}=2x\left(\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-1}x^{n-1}} \right) 
-x^2\left(\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-2}x^{n-2}} \right)+\frac{4x^2}{1-2x}+\frac{4x^2}{1-x} \\
\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}=2x\left(\sum_{n=1}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} \right) 
-x^2\left(\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} \right)+\frac{8x^2-12x^3}{\left( 1-2x\right)\left(1-x \right)  } \\
\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}=2x\left(\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} -a_{0}\right) 
-x^2\left(\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} \right)+\frac{8x^2-12x^3}{\left( 1-2x\right)\left(1-x \right)  } \\
\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}-a_{0}-a_{1}x=2x\left(\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} -a_{0}\right) 
-x^2\left(\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} \right)+\frac{8x^2-12x^3}{\left( 1-2x\right)\left(1-x \right)  } \\
A\left( x\right)-a_{0}-a_{1}x=2x\left( A\left( x\right)-a_{0} \right)-x^2A\left( x\right)+\frac{8x^2-12x^3}{\left( 1-2x\right)\left(1-x \right)  }\\
A\left( x\right)\left( 1-2x+x^2\right)=a_{0}+a_{1}x-2a_{0}x+ \frac{8x^2-12x^3}{\left( 1-2x\right)\left( 1-x\right)  } \\
A\left( x\right)\left( 1-x\right)^2=\frac{\left( a_{0}+\left( a_{1}-2a_{0}\right)x \right)\left( 1-3x+2x^2\right) +8x^2-12x^3 }{\left( 1-2x\right)\left( 1-x\right)  }  \\
A\left( x\right)= \frac{a_{0}-3a_{0}x+2a_{0}x^2+\left( a_{1}-2a_{0}\right)x-3\left( a_{1}-2a_{0}\right)x^2+2\left( a_{1}-2a_{0}\right)x^3+8x^2-12x^3 }{\left( 1-2x\right)\left( 1-x\right)^3  } \\
A\left( x\right)=\frac{a_{0}+\left( a_{1}-5a_{0}\right)x+\left( 8-3a_{1}+8a_{0}\right)x^2+\left( 2a_{1}-4a_{0}-12\right)x^3   }{\left( 1-2x\right)\left( 1-x\right)^3  }\\


W równaniach różniczkowych całkowanie szeregami już aż tak ładnie nie działa bo prowadzi właśnie
do równania różnicowego i dlatego trzeba bawić się takimi rzeczami co podaje Szymon W

Tutaj będziemy mieli do czynienia z sumą szeregów geometrycznych i ich pochodnymi
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 sty 2016, o 08:22 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18499
Lokalizacja: Cieszyn
Cytuj:
dlatego trzeba bawić się takimi rzeczami co podaje Szymon W


Czas zmienić nicka. :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 13 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozwiazywanie rownania z uzyciem wzoru Newtona  birdy1986  7
 [zadanie] Rozwiąż równanie  My4tic  1
 Rozwiąż równanie z silnią  kuzio87  1
 m dyskretna - Ile jest całkowitych rozwiązań równania .  torbol  1
 Kombinatoryka (rozwiąż równania)  allexx  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl