szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sty 2016, o 23:21 
Użytkownik

Posty: 1
Lokalizacja: Warszawa
Witam,
potrzebuję pomocy w rozwiązaniu zadania.

zadanie
Oblicz wartość średnią funkcji F(x,y,z)=xyz na trójkącie S=\left\{ (x,y,z): x+y+2z=1, x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0\right\} .

Rozwiązałem je sprowadzając do całki potrójnej i wynik jaki uzyskałem to \frac{1}{1440} , natomiast muszę to rozwiązać sprowadzając całkę powierzchniową niezorientowanej do podwójnej i nie wiem jak je rozwiązać w ten sposób. Proszę o pomoc.

-- 11 sty 2016, o 02:48 --

Czy poniższe rozwiązanie jest poprawne?


Twierdzenie o zamianie całki powierzchniowej niezorientowanej na podwójną
Jeśli:
1. F(x,y,z) \in  C^{0}(S)
2. S jest powierzchnią gładką
S: z=f(x,y), (x,y) \in  \vec{D}, f \in  C^{1}( \vec{D})
3. D jest obszarem jednospójnym
Wtedy:
\iint_{S} F(x,y,z)dS=\iint_{D}F(x,y,f(x,y))* \sqrt{1+ fx^{2}+fy^{2}} dxdy=\iint_{D}F\left| _{S}*\left|  \vec{N} \right|  dxdy , gdzie \vec{N}=\left[ -fx, -fy, 1\right] jest wektorem prostopadłym do S w punkcie (x,y) \in D.


ROZWIĄZANIE:
ad 1. F(x,y,z) \in  C^{0}(S) , ponieważ jest ciągła na danym obszarze
ad 2. S jest powierzchnią gładką, ponieważ jest częścią płaszczyzny z=f(x,y) , gdzie (x,y) \in  \vec{D}
ad 3. D jest obszarem jednospójnym, ponieważ dowolne dwa punkty należące do D można połączyć drogą, oraz dowolną taką krzywą można przekształcić w sposób ciągły, używając tylko punktów należących do D, w dowolną inną prostą

S: x+y+2z=1   \Rightarrow   z=f(x,y)=- \frac{x}{2}- \frac{y}{2}+ \frac{1}{2}

\vec{N}=[-fx, -fy, 1]=\left[  \frac{1}{2},   \frac{1}{2}, 1\right]

\left|  \vec{N} \right|= \sqrt{  \frac{1}{2}^{2}+\frac{1}{2}^{2}+1 ^{2}  }= \frac{ \sqrt{6} }{2}

F(x,y,z)=xyz - wielomian pierwszego stopnia \Rightarrow F \in C ^{0}( R^{3})  \Rightarrow F \in C ^{0}(S)

F| _{S}=F| _{z(x,y)}=xy\left( - \frac{x}{2}- \frac{y}{2}+ \frac{1}{2}   \right)= -\frac{ x^{2}y }{2}- \frac{xy ^{2} }{2}+ \frac{xy}{2}

Q=\iint_{S}F(x,y,z)dS=\iint_{S}(xyz)dS=\iint_{D}F|_{s}*\left|  \vec{N} \right|dxdy

Q= \frac{ \sqrt{6} }{2}\iint_{D}(-\frac{ x^{2}y }{2}- \frac{xy ^{2} }{2}+ \frac{xy}{2})dxdy= \frac{- \sqrt{6} }{4} \int_{0}^{1}dx \int_{0}^{1-x}(x ^{2}y+xy ^{2}-xy)dy=

= \frac{- \sqrt{6} }{4} \int_{0}^{1}\left\{\left[y^{2}\left(\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}xy-\frac{1}{2}x\right)\right]^{1-x}_{0}\right\}dx=\frac{- \sqrt{6} }{4} \int_{0}^{1}\left( \frac{1}{6}x^{4}-\frac{1}{2}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{6}x\right)dx=

=\frac{- \sqrt{6} }{4}*\left(\frac{1}{6}*\frac{1}{5}x^{5}-\frac{1}{2}*\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}*\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{6}*\frac{1}{2}x^{2}\right)^{1}_{0}=\frac{-\sqrt{6}}{4}*\frac{-1}{120}=\frac{\sqrt{6}}{480}


Moje pytanie teraz brzmi czy to jest poprawnie policzone, oraz czy to już jest wartość średnia funkcji F na trójkącie S, czy jeszcze powinienem podzielić ten wynik przez pole powierzchni?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Twierdzenie Greena ze zwykłej funkcji  Kaktusiewicz  2
 całka po trójkącie [twierdzenie Greena]  mariusz_w3  3
 Oblicz całki - zadanie 26  Anonymous  1
 Korzystając z twierdzenia Greena oblicz całkę  Anonymous  1
 Oblicz całkę krzywoliniową zorientowaną - zadanie 4  madzieq92  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl