szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 sty 2016, o 14:51 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Warszawa
Czy liczba 0,101001000100001000001...
jest wymierna czy niewymierna?
Proszę o pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 sty 2016, o 15:20 
Użytkownik

Posty: 106
Lokalizacja: Szczecin
Liczbę 0,101001000100001000001... można zapisać jako sumę odwrotności odpowiednich potęg 10, to znaczy tak:

0,101001000100001000001... =  \frac{1}{10 ^{1} }  + \frac{1}{10 ^{3} }  + \frac{1}{10 ^{6} }  + \frac{1}{10 ^{10} }  + ...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 sty 2016, o 15:26 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Warszawa
Dzieki, to wiem, tylko, że to nic nie daje, mi przynajmniej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 sty 2016, o 16:53 
Moderator

Posty: 3011
Lokalizacja: Starachowice
\frac{1}{10 ^{1} } + \frac{1}{10 ^{3} } + \frac{1}{10 ^{6} } + \frac{1}{10 ^{10} } + ... to wszystko są liczby wymierne

A suma liczb wymiernych jest liczbą wymierną więc 0,101001000100001000001... jest liczbą wymierną
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 sty 2016, o 17:01 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10237
Lokalizacja: Wrocław
loitzl9006, to tak nie działa. Suma skończona - owszem. Ale nieskończona już niekoniecznie. Twoją metodą uzasadnię, że \pi^{2} jest liczbą wymierną:
jak wiadomo \sum_{n=1}^{ \infty }  \frac{1}{n^{2}} = \frac{\pi^{2}}{6}. Lecz przecież wszystkie te składniki są wymierne, więc i suma, toteż \frac{\pi^{2}}{6} jest liczbą wymierną, a stąd wobec faktu, że iloczyn liczb wymiernych jest wymierny mamy \pi^{2} \in \QQ.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 sty 2016, o 17:10 
Moderator

Posty: 3011
Lokalizacja: Starachowice
I tu mnie masz ;)
a przecież liczba jest wymierna tylko wtedy jeśli ma rozwinięcie dziesiętne skończone bądź nieskończone okresowe.
Jakoś o tym zapomniałem pisząc swojego posta
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 sty 2016, o 18:47 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2505
Załóż nie wprost, że liczba ta jest wymierna, zatem jej rozwinięcie dziesiętne jest od pewnego miejsca okresowe. Pokaż, że stoi to w sprzeczności z tym, że dowolnie daleko można znaleźć jedynkę, po której następuje wiele zer.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 sty 2016, o 19:29 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Warszawa
Sprytnie, dzięki.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Co to jest liczba kolista??  Anonymous  12
 Udowodnij że x=... jest dla każdych argumentów a,b,c mni  magik100  2
 Udowodnić, że 0 jest większe od 3.  Hetacz  8
 Rozstrzygnąć, czy dana liczba jest wymierna/niewymierna  seti  7
 Czy liczba jest całkowita?  Anonymous  17
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl