szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 

Czy to zadanie jest dla gimnazjalisty rozwiązywalne?
Tak 67%  67%  [ 8 ]
Nie 33%  33%  [ 4 ]
Liczba głosów : 12
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 sty 2016, o 21:49 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Poznań
Dany jest trójkąt ABC, w którym \sphericalangle BAC = 90^\circ. Punkty D, E, F leżą odpowiednio na bokach BC, CA, AB, przy czym \sphericalangle EDF = 90^\circ. Wykaż, że długość odcinka EF jest nie mniejsza od długości wysokości trójkąta
ABC poprowadzonej z wierzchołka A.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 sty 2016, o 23:56 
Użytkownik

Posty: 1004
Lokalizacja: Polska
Czworokąt AEDF jest prostokątem, zatem |EF|=|AD|. Pozostaje zatem wykazać, że |AD| \ge h, a to jest bardzo proste. Jaka jest definicja wysokości trójkąta? Skorzystaj z niej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2016, o 00:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1461
Lokalizacja: Katowice
niby dlaczego AEDF jest prostokątem???????/////
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2016, o 07:00 
Użytkownik

Posty: 15836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Wsk: AD\geq h (to jest oczywiste). Odcinek EF jest średnicą okręgu, na którym leżą również punkty A i D. Wyciągnij wnioski...
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 maja 2018, o 00:36 
Użytkownik

Posty: 23
Podbijam to zadanie, czy ktoś mógłby dokładniej wytłumaczyć?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 maja 2018, o 07:53 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1461
Lokalizacja: Katowice
przepiszę innymi słowami to, co a4karo napisał

:arrow: gdy X to spodek wysokości opuszczonej z A, to powstaje trójkąt prostokątny ADX o przeciwprostokątnej AD, zatem AX \le AD, gdyż przeciwprostokątna jest dłuższa od przyprostokątnych

:arrow: punkty A, D leżą na okręgu o średnicy EF, gdyż \angle EDF = 90^\circ = \angle EAF; w konsekwencji AD \le EF, gdyż średnica jest najdłuższą cięciwą okręgu

:arrow: łącząc powyższe dwie obserwacje dostajemy AX \le AD \le EF, co było do udowodnienia :!: :!: :!:
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 maja 2018, o 11:17 
Użytkownik

Posty: 23
Bardzo dziękuję !
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 cze 2018, o 21:43 
Użytkownik

Posty: 181
Lokalizacja: Polska
AndrzejK napisał(a):
Czworokąt AEDF jest prostokątem, zatem |EF|=|AD|. Pozostaje zatem wykazać, że |AD| \ge h, a to jest bardzo proste. Jaka jest definicja wysokości trójkąta? Skorzystaj z niej.

W zadaniu nie jest to powiedziane. Kąt \sphericalangle AEDmoże mieć np 30^\circ to kąt \sphericalangle AFD bedzie musiał mieć 60^\circ, wówczas nie jest to nawet czworokąt foremny.
a4karo napisał(a):
Wsk: AD\geq h (to jest oczywiste). Odcinek EF jest średnicą okręgu, na którym leżą również punkty A i D. Wyciągnij wnioski...

Tylko że punkt przecięcia się wysokości z prostą BC wcale nie musi należeć do okręgu.
timon92 napisał(a):
:arrow: punkty A, D leżą na okręgu o średnicy EF, gdyż \angle EDF = 90^\circ = \angle EAF; w konsekwencji AD \le EF, gdyż średnica jest najdłuższą cięciwą okręgu

Byłby to jakiś dowód, gdyby odcinek AX był rzeczywiście cięciwą. Nie jest to nigdzie udowodnione, że punkt X nie może leżeć poza okręgiem, bo wtedy odcinek AX nie byłby cięciwą.
Jedno jest pewne punkty E i F oraz A i D będą leżały na okręgu, bo jest to w zgodzie z twierdzeniem kąta wpisanego w okrąg opartego na tym samym łuku, oraz twierdzeniem o kącie środkowym i kącie wpisanym opartych na tym samym łuku.
Jeśli dowolne kąty są oparte na tym samym łuku i mają tą samą miarę to są one wpisane w okrąg.
\sphericalangle BAE = \sphericalangle EDF = 90^\circ, gdyż oparte są na tym samym łuku EF o tej samej wartości kąta środkowego.
Obrazek

-- 6 cze 2018, o 21:21 --

popr:
.........W zadaniu nie jest to powiedziane. Kąt \sphericalangle AED może mieć np 60^\circ to kąt \sphericalangle AFD bedzie musiał mieć 110^\circ, wówczas nie jest to nawet czworokąt foremny.

-- 6 cze 2018, o 22:47 --

120 hehehe...

-- 9 cze 2018, o 11:35 --

Rozwiązanie jest proste. Trzeba rozpocząć eksperyment od sytuacji jiedy punkt D jest punktem styczności wysokości z wierzchołka A, oraz odcinki ED i DF są odpowiednio prostopadłe do odcinków AC i AB. Otrzymujemy wówczas kwadrat o przekątnych AD (która jest wysokością h z wierzchołka A trójkąta ABC) oraz EF. Te przekątne są sobie równe tak jak w przypadku prostokąta, ale o tym później.
Następnie eksperymentujemy z obrotem kąta EDF, jego ramiona stworzą dwa nowe trójkąty prostokątne tak więc będziemy mieli trzy nowe interesujące nas trójkąty. Nasz badany trójkąt o wierzchołkach E'DF' oraz dwa nowe trójkąty prostokątne powstałe w wyniku przesunięcia ramion ED i DF, EDE' oraz FDF'. I teraz najważniejsze odcinek E'D bedzie przeciwprostokątną w trójkącie E'DF' a zatem będzie już dłuższy od odcinka ED, oraz analogicznie będzie z DF', ale E'D i DF' będą za to przyprostokątnymi w trójkącie E'DF' i będą one już dłuższe a zatem ich przeciwprostokątna E'F' będzie też już dłuższa od poprzedniej przeciwprostokątnej EF. Widać tutaj że odcinek E'F' będzie przyjmował wartości od wysokości trójkąta ABC(h - poprowadzonej z wierzchołka A)do najdłuższej przyprostokątnej trójkąta ABC.
Analogicznie postępujemy z przesuniętym punktem D na odcinku BC, z tym że zaczynamy tam od prostokąta o równych przekątnych.

No kilka dni się nad tym zastanawiałem aż do wczoraj nie powiem...

Za kilka godzin zamieszczę pomocnicze rysunki i spróbuje to zapisać za pomocą warunków i nierówności.

pzdr. D.

-- 9 cze 2018, o 11:41 --

błąd się wkradł:
....I teraz najważniejsze odcinek E'D będzie przeciwprostokątną w trójkącie E'DE a zatem będzie już dłuższy od odcinka ED....

reszta wygląda dobrze...

-- 9 cze 2018, o 15:36 --

Rysunek pomocniczy:
https://ggbm.at/cYHZeAAm
https://i.imgur.com/QtbqrFk.png
Obrazek
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Oblicz długości odcinków podzielonych przez okrąg.  claher  2
 trójkąty dopisane na i w trójkącie  p1992  0
 Oblicz miarę kąta ABC w trójkącie, w którym ...  kamil13151  10
 Udowodnij, że w trójkącie prostokątnym 60|abc  vinci  6
 Miara największego kąta w trójkącie o bokach.  wnoros89  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl