szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 sie 2007, o 08:18 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 139
Lokalizacja: Kutno
Udowodnij że dla każdej liczby całkowitej n liczby:
a)\frac{3n^{5}+5n^{3}+7n}{15}
b)\frac{n^{5}-5n^{3}+4n}{120}
c)\frac{n^{4}+6n^{3}+11n^{2}+6}{24}
są całkowite
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 sie 2007, o 08:32 
Gość Specjalny

Posty: 845
Lokalizacja: Limanowa
b)
=\frac{(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)}{120}
W liczniku mamy iloczyn pięciu kolejnych liczb naturalnych, więc dokładnie jedna z nich jest podzielna przez 5, co najmniej jedna podzielna przez 4 a inna przez 2, i co najmniej jedna podzielna przez 3. Czyli cały licznik dzieli się przez 5\cdot4\cdot3\cdot2=120
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 sie 2007, o 10:10 
Gość Specjalny

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Co do punktu a), bardzo łatwo udowodnisz, że licznik dzieli się przez piętnaście, jeśli po prostu rozbijesz to sobie na podzielność przez 3 i 5 (rozpatrz wszystkie przypadki z kongruencji: n \equiv 0 (mod 3) n \equiv 1 (mod 3) n \equiv 2 (mod 3) itd, tak samo w przypadku piatki)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 sie 2007, o 13:37 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2357
W c) coś zjadłeś, bo już dla n=2 dana liczba nie jest całkowita.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 sie 2007, o 15:06 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2643
Lokalizacja: Warszawa
W c) pewnie powinno być coś takiego:
\frac{n^{4}+6n^{3}+11n^{2}+6n}{24}=\frac{n^4+5n^2+6n^2+n^3+5n^2+6n}{24}= \\ =\frac{(n^2+n)(n^2+5n+6)}{24}=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}

W liczniku mamy iloczyn czterech kolejnych liczb całkowitych, więc dokładnie jedna z nich jest podzielna przez 4, inna przez 2, jak również co najmniej jedna z nich jest podzielna przez 3. Podsumowując, cały licznik jest podzielny przez 2*3*4=24, ale w mianowniku też jest 24, więc ułamek jest liczbą całkowitą dla każdego całkowitego n.

A pierwsze udowadnia się banalnie z indukcji (przedstawiam tylko dowód, z resztą sobie poradzisz :wink: ):
\frac{3(n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n+1)+5(n^3+3n^2+3n+1)+7(n+1)}{15} = \\ = \frac{3n^5+5n^3+7n}{15}+\frac{15n^4+30n^3+45n^2+30n+15}{15} = \\ = \frac{3n^5+5n^3+7n}{15}+n^4+2n^3+3n^2+2n+1
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 udowodnij, że... - zadanie 3  zalzal  1
 Udowodnij, ze... - zadanie 2  julietta_m_18  1
 udowodnij, ze...  soundluk  1
 Udowodnij, że... - zadanie 6  s147698  1
 udowodnij, że... - zadanie 4  Nuno_Japaj  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl