szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 sty 2016, o 18:24 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 435
Lokalizacja: Glasgow
Wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej a prawdziwa jest nierówność \frac{a^2 +3}{ \sqrt{a^2 + 2} }  > 2.

Ja chciałem to zrobić za pomocą nierówności: x +  \frac{1}{x}  \ge 2 , dla x>0 i podstawiając x=  \sqrt{a^2 + 2}.
Otrzymuję: \sqrt{a^2 + 2} +  \frac{1}{\sqrt{a^2 + 2}} \ge 2 co po przekształceniu daje: \frac{a^2 +3}{ \sqrt{a^2 + 2} }\ge 2.

I czas na moje pytanie - czy to, że udowodniłem nierówność słabą (kiedy miałem udowodnić mocną) jest w porządku? Czy należy to jeszcze poprawić?

Można powiedzieć, że tutaj x + \frac{1}{x} \ge 2 równość zajdzie dla x=1, w naszym przypadku x= \sqrt{a^2 + 2} \neq 1, czyli nie można mówić o równości. I stąd nierówność robi się mocna? :)
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 16 sty 2016, o 18:33 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10812
Lokalizacja: Wrocław
Jest w porządku, tylko skoro masz udowodnić ostrą nierówność, to właśnie ten komentarz o braku równości jest potrzebny. Nie wiem, jak bardzo czepliwi mogą być sprawdzający, ale można jeszcze uzasadnić to, że równość zachodzi tylko dla x=1, przekształcając nierówność x+ \frac{1}{x} \ge 2 (dla x>0 ofc) do postaci (x-1)^{2} \ge 0 albo powołać się na nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną i napisać, że równość w niej zachodzi tylko dla równych zmiennych (w tym wypadku x= \frac{1}{x} \wedge x>0)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 sty 2016, o 18:45 
Użytkownik

Posty: 754
Lokalizacja: Warszawa
Edit. -- Wybaczcie, nie zrozumiałem pytania, za wiele nie wniosłem - idę poćwiczyć czytanie. --

( \sqrt{a^2+2}-1)^2  > 0 I z tej postaci już chyba łatwo uzasadnić że zachodzi tylko nierówność ostra.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 sty 2016, o 19:37 
Użytkownik

Posty: 46
Lokalizacja: Lublin
Ja to zrobiłem tak, że wykazałem, że nieprawdą jest \frac{a^2 +3}{ \sqrt{a^2 + 2} }  < 2, a dokładniej pomnożyłem przez mianownik, a potem podniosłem do kwadratu i dalej to już sobie poradzisz.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 dowód na 1+1=2  bisz  21
 Wykazanie nierówności - zadanie 14  ann_mary  1
 Udowodnienie nierownosci  Artek101  15
 Dowód nierówności  Sebastian R.  2
 Dowód twierdzenia - zadanie 2  jacekgo  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl