szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 sty 2016, o 15:16 
Użytkownik

Posty: 5472
Lokalizacja: Kraków
Niech n będzie liczbą naturalną zaś p liczbą pierwszą. Udowodnić, że liczba \sqrt{n} + \sqrt{n+ p} jest całkowita tylko gdy n=( \frac{p-1}{2})^2 oraz sprawdzić, czy liczba \sqrt{n-p} + \sqrt{n} + \sqrt{n+ p} może być całkowitą ?
Jeśli może to dla jakich n ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 sty 2016, o 15:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10286
Lokalizacja: Wrocław
Liczba \sqrt{n}+\sqrt{n+p} jest albo naturalna, albo niewymierna. Podobnie liczba \sqrt{n+p}-\sqrt{n}. Jeśli \sqrt{n}+\sqrt{n+p} jest naturalna, to ponieważ mamy
(\sqrt{n+p}+\sqrt{n})(\sqrt{n+p}-\sqrt{n})=p, w świetle powyższych faktów musi być
\sqrt{n+p}-n \in \ZZ (bo iloczyn liczby wymiernej i niewymiernej byłby niewymierny).
Stąd mamy oczywiście \sqrt{n+p}+\sqrt{n}=p oraz \sqrt{n+p}-\sqrt{n}=1, bo p pierwsza, zaś oba czynniki muszą być dodatnie, a stąd z kolei 2\sqrt{n}=p-1, tj.
n=(0,5(p-1))^{2}.
Pomyślę nad drugą częścią.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Całkowitość ułamka  KrolKubaV  5
 wykazać całkowitość współczynników  MrVonzky  9
 zbadac całkowitość peirscienia ilorazowego  fuqs  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl