szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 sty 2016, o 22:31 
Użytkownik

Posty: 121
Lokalizacja: Polska
Witam, mam zadanie z jednej z poprzednich edycji olimpiad, którego nei za bardzo potrafie rozwiązać. Miałem pomysł na wyliczenie pkt w trójkącie, a potem wyznacznik, ale jakoś nie mogę dojść.
Oblicz pole trójkąta, mając dane dwie proste 4x+5y+17=0 i x-3y=0 zawierające środkowe trójkąta, oraz jeden jego wierzchołek A=(-1,-6).
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 sty 2016, o 00:00 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Polska
Mam drobną wskazówke mam nadzieje trafną. Odległość przecięcia środkowych do dowolnego wierzchołka jest taka sama, wyznacz punkt przecięcia tych prostych a następnie równanie okręgu o środku tego przecięcia i promieniu długości |SA| gdzie S punkt przecięcia.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 sty 2016, o 00:36 
Użytkownik

Posty: 121
Lokalizacja: Polska
Czy na pewno te odległości sa takie same?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 19 sty 2016, o 00:50 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4415
Lokalizacja: Łódź
Nie są. Równe odległości są dla punktu przecięcia symetralnych (środek okręgu opisanego na trójkącie) a nie środkowych.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 19 sty 2016, o 09:16 
Użytkownik

Posty: 1959
Lokalizacja: Warszawa
Niech S punkt przecięcia środkowych
D(x;- \frac{4}{5}x- \frac{17}{5}) środek boku AB
wierzchołek B(x_B; \frac{1}{3}x_B)

z wektorów

\vec{AD}= \vec{DB}

Wyliczam współrzędne punktów B i D a z przecięcia prostych punktu S

Z wektorów pole P_{ASB}

P_{ABC}=3P_{ASB}

Mnie wyszło P_{ABC}=25 \frac{1}{2} j^2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 sty 2016, o 13:52 
Użytkownik

Posty: 2233
Lokalizacja: Warszawa
Może pokombinuj tak:

1. Wyznacz równanie trzeciej środkowej (przechodzi przez punkt A i przez punkt przecięcia pozostałych środkowych).

2. Punkt przecięcia środkowych dzieli je w stosunku \frac{2}{1}, a więc znajdziesz punkt przecięcia tej trzeciej środkowej z bokiem a trójkąta, czyli jego środek.

3. Dalszego pomysłu chwilowo nie mam... :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 sty 2016, o 13:57 
Użytkownik

Posty: 121
Lokalizacja: Polska
Ania221 napisał(a):
Niech S punkt przecięcia środkowych
D(x;- \frac{4}{5}x- \frac{17}{5}) środek boku AB
wierzchołek B(x_B; \frac{1}{3}x_B)

z wektorów

\vec{AD}= \vec{DB}

Wyliczam współrzędne punktów B i D a z przecięcia prostych punktu S

Z wektorów pole P_{ASB}

P_{ABC}=3P_{ASB}



Czemu pole całego równa się 3P_{ASB} z trójkatów przystających?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 19 sty 2016, o 14:01 
Użytkownik

Posty: 1959
Lokalizacja: Warszawa
Dilectus napisał(a):
Może pokombinuj tak:

1. Wyznacz równanie trzeciej środkowej (przechodzi przez punkt A i przez punkt przecięcia pozostałych środkowych).

2. Punkt przecięcia środkowych dzieli je w stosunku \frac{2}{1}, a więc znajdziesz punkt przecięcia tej trzeciej środkowej z bokiem a trójkąta, czyli jego środek.

3. Dalszego pomysłu chwilowo nie mam... :)
Dalej ponownie najłatwiej to robić z wektorów, tylko że najpierw trzeba wyznaczyć równanie prostej AS, to jest ta jodyna środkowa, której nie znamy. Czyli więcej roboty.

Kiedyś było zadanie, wyznaczyć albo boki albo pole trójkąta znając tylko jego środkowe...ale to było dość skomplikowane o ile dobrze pamiętam. A poza tym my nie znamy długości środkowych, tylko ich równania.

-- 19 sty 2016, o 14:05 --

Kuber19 napisał(a):
Ania221 napisał(a):
Niech S punkt przecięcia środkowych
D(x;- \frac{4}{5}x- \frac{17}{5}) środek boku AB
wierzchołek B(x_B; \frac{1}{3}x_B)

z wektorów

\vec{AD}= \vec{DB}

Wyliczam współrzędne punktów B i D a z przecięcia prostych punktu S

Z wektorów pole P_{ASB}

P_{ABC}=3P_{ASB}

Czemu pole całego równa się 3P_{ASB} z trójkatów przystających?

Te trójkąty nie są przystające. Ale trójkąty ASB, BSC, CSA mają równe pola. Ponieważ środkowe dzielą sie w stosunku 1:2, to wysokość trójkąta ASB jest równa \frac{1}{3} wysokości tr ABC
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 sty 2016, o 16:14 
Użytkownik

Posty: 121
Lokalizacja: Polska
P_{ABC}=3P_{ASB}[/quote]
Czemu pole całego równa się 3P_{ASB} z trójkatów przystających?[/quote]
Te trójkąty nie są przystające. Ale trójkąty ASB, BSC, CSA mają równe pola. Ponieważ środkowe dzielą sie w stosunku 1:2, to wysokość trójkąta ASB jest równa \frac{1}{3} wysokości tr ABC[/quote]
Ale te srodkowe nie padaja chyba pod katem prostym?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 19 sty 2016, o 16:37 
Użytkownik

Posty: 1959
Lokalizacja: Warszawa
Narysuj trójkąt nie-równoramienny.
Narysuj środkową padającą na podstawę. Podziel ją na 3 równe części.
Opuść na podstawę wysokość z punktu "niższego".
I wysokość całego trójkąta na tę podstawę.
Jak sie mają do siebie te wysokości?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 moment bezwładności trójkąta  Dradodudi  1
 Pole trójkąta w układzie współrzędnych - 2  Glo  1
 Pole trojkata - zadanie 22  natalicz  1
 Wyznacz obraz trójkąta ABC w symetrii względem prostej.  djlolek  1
 długośc wysokości trójkąta  asius  11
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl