szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 sty 2016, o 22:18 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Polska
Witajcie forumowicze. To mój pierwszy post, cieszę się, że mogłem dołączyć do waszej społeczności. Mam problem z równaniem funkcyjnym, które muszę do jutra zrobić. Męczę się z tym i męczę, i nic nie mogę wymyślić.

Oto ono:
f( x^{2} - y^{2} ) = ( x - y )( f(x) + f(y) )
podstawiając x=y=0 otrzymałem
f( 0 ) = 0
ale każde inne podstawianie nie zbliża mnie niestety do rozwiązania. Chciałbym to zrobić, dlatego proszę was o pomoc.

Z góry dziękuję za wszystkie nadesłane odpowiedzi. Życzę miłego wieczoru! :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 sty 2016, o 22:30 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10819
Lokalizacja: Wrocław
Hmm. Kładąc x:= \frac{x+1}{2}, y:= \frac{x-1}{2}, mamy
f(x)=f\left( \frac{x+1}{2}  \right)+f\left( \frac{x-1}{2}  \right). Może pokombinuj z tym i z f(0), które znalazłeś. Gdy zrobię listę zadań, to jeszcze na to spojrzę.

-- 18 sty 2016, o 22:46 --

Aha, ponadto jeśli podstawimy na odwrót, to otrzymamy wniosek, że f jest nieparzysta.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 sty 2016, o 23:15 
Administrator

Posty: 21378
Lokalizacja: Wrocław
Łatwo zauważyć, że funkcje liniowe są dobre.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 sty 2016, o 23:25 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Polska
Są dobre, ale jak udowodnić, że tylko one? Dodam, że w moim zadaniu chodziło o znalezienie wszystkich funkcji. Nie mniej prawdą jest, że rozwiązaniem są funkcje liniowa:
f(x) = ax
gdzie
a \in R

Tak przeczuwam, że nie tylko ona może być rozwiązaniem, to chyba byłoby za proste :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 kwi 2016, o 13:05 
Użytkownik

Posty: 5493
Lokalizacja: Kraków
Cytuj:
f( x^{2} - y^{2} ) = ( x - y )( f(x) + f(y) )


Takie f gdyby istniało (i f(x) \neq f(1)x) to byłoby nieaddytywne ; jeśli dodać też założenie że
f(x+y )= f(x)+ f(y)
to:

f(x^2) - f(y^2)= (x-y)( f(x)+ f(y)) stąd yf(x)=xf(y)

Cytuj:
podstawiając x=y=0 otrzymałem
f( 0 ) = 0
a tj. f(x^2)= x f(x)

Cytuj:
to otrzymamy wniosek, że f jest nieparzysta.

Cytuj:
mamy
Cytuj:
f(x)=f\left( \frac{x+1}{2}  \right)+f\left( \frac{x-1}{2}  \right)
To jest tyle co f(x)+f(x+1)= f(2x+1)
Góra
PostNapisane: 12 kwi 2016, o 13:46 
Użytkownik
Mamy f(x^2 -y^2 ) = (x-y) (f(x) + f(y) )
Podstawmy x=u+v , y= u-v wtedy
f(4uv) =2v (f(u+v) + f(u-v) ).
Podstawmy f(z) =z g(z) wtedy
4uv g(4uv) =2v ((u+v) g(u+v) + (u-v) g(u-v) )
Podstawmy u=v otrzymamy
4u^2 g(4u^2 ) =4u^2 g(2u)
czyli g(s) =g(s^2)
jeśli więc założymy ciągłość w 0,1 to g\equiv const.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 kwi 2016, o 17:50 
Użytkownik

Posty: 5493
Lokalizacja: Kraków
g(x)= g(x^2) to jest bo \frac{f(x^2)}{x^2} = \frac{f(x)}{x} (w równaniu wyjściowym y=0)

Cytuj:
jeśli więc założymy ciągłość
f(x) czy \frac{f(x)}{x} (w zerze) ?

Czy jeśli g: [0,1] \mapsto R jest taka, że g(x)= g(x^2) dla x \in [0, 1] to g jest stała ?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie funkcyjne - zadanie 2  przemk20  6
 równanie funkcyjne - zadanie 4  MatizMac  6
 Równanie funkcyjne - zadanie 8  patry93  5
 Równanie funkcyjne - zadanie 9  rectussss  5
 równanie funkcyjne - zadanie 13  binaj  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl