szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 sty 2016, o 00:50 
Użytkownik

Posty: 84
Lokalizacja: Sosnowiec, Polska
Witam, mam problem z jednym przykładem, ogólnie potrafię znajdywać te ciągi lecz z tym mam problem. Funkcja to: f(x)= \frac{1}{4+x^{2} } +3. Czy ta trójka wpływa jakoś na szukanie tego ciągu w sensie czy muszę ją jakoś wciągać do tego ułamka czy znaleść ciąg dla samego ułamka i dodać do niego 3?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 sty 2016, o 01:03 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3273
Lokalizacja: blisko
Rozwiń funkcję w szereg.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 sty 2016, o 01:19 
Użytkownik

Posty: 84
Lokalizacja: Sosnowiec, Polska
Już sobie poradziłem, właśnie doszedłem do tego by rozwinąć i zabrać a_{0} i zsumować z tą trójką :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sty 2017, o 01:07 
Użytkownik

Posty: 67
Lokalizacja: Obłok Magellana
Przepraszam, że odkopuję temat, ale nie do końca rozumiem to rozwiązanie. Czy ktoś mógłby mi je nieco rozjaśnić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sty 2017, o 01:19 
Użytkownik

Posty: 12615
Mamy:
\frac{1}{4+x^2} =\frac 1 4 \cdot  \frac{1}{1-\left( - \frac{x^2}{4} \right) } =\\= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac 1 4 (-1)^n \frac{x^{2n}}{4^n} =\\= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{4^{n+1}}x^{2n}
dla \left| - \frac{x^2}{4} \right| <1, czyli dla |x|<2.
Skorzystałem po prostu ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, tylko w drugą stronę.

Zatem f(x)= \frac{1}{4+x^2}+3 jest funkcją tworzącą ciągu
a_n, określonego następująco:
\begin{cases} a_0=\frac 1 4+3 \\ a_n= \frac{(-1)^n}{4^{n+1}}  \text{ dla }n\ge 1\end{cases}

albo, jak kto woli, a_n= \frac{(-1)^n}{4^{n+1}}+3\cdot \mathbf{1}(n=0)

Przy n-tej potędze w tej sumie szeregu stoi n-ty wyraz ciągu, którego funkcją tworzącą jest \frac{1}{4+x^2}, a tę wolno stojącą trójkę, jak już napisał autor wątku dodajemy do a_0. (bo 3=3x^0).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sty 2017, o 13:17 
Użytkownik

Posty: 67
Lokalizacja: Obłok Magellana
Dziękuję za pomoc, problemem właśnie był dla mnie ten dodatkowy wyraz. Ale skoro jest x^{2n}, to jak się ma sprawa z co drugim wyrazem ciągu?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sty 2017, o 23:37 
Użytkownik

Posty: 12615
A, no fakt, przeoczyłem to, że jest x^{2n}, muszę się dziś porządnie wyspać.
co drugi wyraz ciągu jest równy zero. Tj. powinno w końcu być tak:

a_n= \begin{cases} \frac 1 4+3 \text{ gdy } n=0 \\ 0 \text{ gdy } 2\nmid n\\ \frac{(-1)^{\frac n 2}}{4^{\frac n 2+1}}  \text{ gdy } n>0 \wedge 2|n \end{cases}

albo jeszcze inaczej, żeby nie było aż takich syfów:
a_0=3+\frac 1 4, a_{2n+1}=0 dla n=0,1,\dots, a_{2n}= \frac{(-1)^n}{4^{n+1}} dla n=1,2\dots

Sorry.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sty 2017, o 17:11 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6622
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Aby jakiś ładny wzorek wymyślić trzeba by z funkcji trygonometrycznych skorzystać
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ile jest dzielnikow liczby  Anonymous  6
 ile jest liczb 2cyfr/3cyfr, 5cyfr o pocz 12, bez cyfr 4 i 5?  Anonymous  1
 "na ile sposobów mozna ustawić ciąg..."  ktosia  6
 Znajdź a_n wyraz rozwinięcia dwumianu  Anonymous  1
 permutacje/ile jest sposobow ustawien/ -prosba o sprawdzenie  alamakota  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl