szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Pytanie Borsuka
PostNapisane: 16 sie 2007, o 19:50 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 620
Lokalizacja: Kęty
Może na początek słów kilka o tym, kim Karol Borsuk był - oczywiście matematykiem, urodzonym 8 maja 1905 w Warszawie, zmarłym 24 stycznia 1982, studentem a później profersorem Uniwersytetu Warszawskiego, uczonym który szczególnym zainteresowaniem darzył topologię (która notabene wówczas - w latach dwudziestych XX wieku była można by rzec "polską" dyscypliną)... (więcej o tej osobie w linku powyżej)

Twierdzenie Borsuka-Ulama jest daleko idącym, niebanalnym wnioskiem z twierdzenia o antypodach, głosi ono że jeżeli sferę n-wymiarową pokrywa n+1 zbiorów domkniętych to przynajmniej jeden znich zawiera punkty antypodalne.

Najłatwiej powyższe twierdzenie zobrazować prostymi słowami w niskich wymiarach - w sferze S^1 \rightarrow R^2 sytuacja przedstawiać się będzie następująco: jakkolwiek koło podzielimy na dwa domknięte podzbiory, w jednym z nich napewno znajdą się punkty przecięcia prostej przechodzącej przez środek okręgu i sam okrąg.

Teraz kilka słów o pojęciu średnicy zbioru:
Dla naszych potrzeb możemy się ograniczyć do zbiorów domkniętych; wówczas średnica zbioru a jest to "największa możliwa" odległość między parami punktów zbioru A. w przypadku odcinka jest to długość tego odcinka. w przypadku koła domkniętego o promieniu r jest to liczba 2r, ta sama, która jest średnicą okręgu o promieniu r (stąd nazwa). Średnicą kwadratu o boku 1 jest \sqrt{2}

Z twierdzenia Borsuka-Ulama wynika natomiast, że jeśli pokryjemy sferę n-1-wymiarową o promieniu r (czyli o średnicy 2r) n zbiorami domkniętymi, to przynajmniej jeden z nich będzie miał średnicę większą lub równą od 2r (gdyż będzie zawierał dwa punkty antypodalne, odległe o 2r). Bez problemu można jednak pokryć tę sferę n+1 zbiorami domkniętymi o mniejszych średnicach. Jak to zrobić w przypadku okręgu (czyli S1, zawartego w R2, za pomocą trzech zbiorów), pokazuje rysunek.

Obrazek

Borsuk postawił pytanie: "Czy tak samo będzie dla dowolnego ograniczonego podzbioru R^n?" Innymi słowy, czy jeśli zbiór o średnicy d, zawarty w R^n, zawrzemy w n+1 zbiorach domkniętych, to przynajmniej jeden z nich będzie miał średnicę większą lub równą od d. Ogólnie sądzono, że twierdzenie okaże się prawdziwe, dlatego mówiono i pisano o hipotezie Borsuka: "Każdy zbiór o średnicy d zawarty w R^n można pokryć n+1 zbiorami domkniętymi o mniejszej średnicy". Należy jednak podkreślić, że Borsuk nigdy nie sformułował swojego problemu w tej postaci jako hipotezę, lecz właśnie jako pytanie: "Czy...?"

W przypadku podzbiorów płaszczyzny, dla n = 2, możliwość utworzenia odpowiedniego pokrycia wykazał sam Borsuk. Już jednak w przypadku zwykłej, trójwymiarowej przestrzeni, problem okazał się niezwykle trudny! Dopiero w roku 1947 rozwiązanie przedstawił Polak Julian Perkal, dowodu jednak nie opublikował; ukazała się jedynie informacja o rozstrzygnięciu problemu. Drukiem ogłoszony został (w roku 1955) dowód, który wymyślił H. G. Eggleston. później podano inne, prostsze dowody. w wyższych wymiarach jednak - ani rusz.

Problem czekał na pogromcę 60 lat! I okazało się, że Borsuk miał niezwykłą intuicję, formułując pytanie tak, a nie inaczej. Otóż udowodniono, że odpowiednie pokrycie nie zawsze musi istnieć - dzieje się to jednak w wysokich wymiarach. Zagadnienie rozstrzygnęli w 1992 roku Jeff Kahn z USA i Gil Kalai z Izraela. Użyli oni metod, nazywanych "kombinatorycznymi"; wcześniej nie przypuszczano, że tymi technikami można ów problem pokonać. Zresztą, co ciekawe, Kahn i Kalai dowiedzieli się o problemie Borsuka przypadkiem; pracowali nad inną tematyką.

Z twierdzenia Kahna i Kalai w prosty sposób wynika, że dla pewnych wymiarów hipoteza nie jest prawdziwa. Najmniejszym znanym wymiarem, w którym sytuacja się "psuje", jest... 9604. Do pokrycia pewnego podzbioru R^{9604} nie wystarczy 9605 zbiorów o mniejszej średnicy.

Problem został rozwiązany, nie wszystko jednak wiadomo. Nie jest znana odpowiedź w przypadku niższych wymiarów - nawet dla wymiaru cztery!




Powyższy tekst jest lekko zmodyfikowanym przeze mnie fragmentem z "Diamentów matematyki" Krzysztofa Ciesielskiego i Zdzisława Pogody.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Nierówność trygonometryczna - pytanie.  Rohamos  1
 Teoreytyczne pytanie co do rzędów macierzy  Quaerens  1
 Pytanie /calkowanie przez czesc/  michal0389  1
 Pytanie nt. definicji zwartości  Quester  5
 XXXIII OM pytanie  pawelsuz  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl