szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sty 2016, o 05:39 
Użytkownik

Posty: 9
Witam. Proszę o pomoc w następującym układzie nierówności:

\left\{\begin{matrix} \frac{x}{a} + \frac{y}{b} < 1
\\ xy > 1
\end{matrix}\right.

Przy założeniu, że a,b,x,y > 0

Jak wywnioskować z tego, że ab > 4?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 25 sty 2016, o 09:41 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4328
Lokalizacja: Łódź
Najpierw liczysz dla xy=1 i masz

\frac{x}{a}+ \frac{1}{xb}<1  \setminus  \cdot xab \\ \\
x ^{2}b+a-xab<0

Wyliczasz \Delta>0 ( bo ta parabola ma ramiona do góry) i stąd dostajesz warunek ab>4
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sty 2016, o 10:44 
Moderator

Posty: 1869
Lokalizacja: Trzebiatów
albo po prostu korzystając z nierówności a^{2} + b^{2}  \ge 2ab mamy, że 1 >   \frac{x}{a} + \frac{y}{b}  \ge  2 \sqrt{\frac{xy}{ab}} > 2 \sqrt{ \frac{1}{ab} }, skad \sqrt{ab} > 2 i ab > 4.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sty 2016, o 21:13 
Użytkownik

Posty: 9
Dziękuję, wszystko jasne, obie odpowiedzi pomocne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sty 2016, o 17:31 
Użytkownik

Posty: 1956
Lokalizacja: Warszawa
Na wszelki wypadek: to nie jest funkcja hiperboliczna, tylko funkcja homograficzna, której wykresem jest, jak wiadomo, hiperbola. Funkcje hiperboliczne to:

\sinh x, \ \cosh x, \ \tgh x, \ \ctgh x

:)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wykazanie nierówności - zadanie 14  ann_mary  1
 Udowodnienie nierownosci  Artek101  15
 Dowód nierówności  Sebastian R.  2
 Nierówności potęgowe  alexandra  2
 Nierówności z pierwiastkami różnych stopni  Marta24  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl