szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sty 2016, o 14:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6506
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Mamy dane wartości pewnej funkcji w punktach

\begin{tabular}{c|c}x&f\left( x\right) \\\hline 39&25\\\hline 39.5&25.4\\\hline 40&25.7\\\hline 40.5&26\\\hline 41&26.4\\\hline 41.5&26.7\\\hline 42&27\\\hline 42.5&27.4\\\hline 43&27.7\\\hline 43.5&28\\\hline 44&28.4\\\hline 44.5&28.7\\\hline 45&29\\\hline 45.5&29.4\\\hline 46&29.7\\\hline 46.5&30\\\hline 47&30.4\\\hline 47.5&30.7\\\hline 48&31\\\hline 48.5&31.4\\\hline 49&31.7\\\hline 49.5&32\\\hline 50&32.4\\\hline \end{tabular}

Przyjąłem t=2x
i zauważyłem że ta funkcja może być przedstawiona jako ciąg zadany rekurencyjnie

\begin{cases} a_{78}=25 \\ a_{79}=25.4\\a_{80}=25.7\\a_{n}=a_{n-3}+1 \end{cases}\\
 \begin{cases} a_{0}=-1 \\ a_{1}=-0.6\\a_{2}=-0.3\\a_{n}=a_{n-3}+1 \end{cases}\\

\sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}{x^n}=A\left( x\right) \\
 \sum_{n=3}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}=\sum_{n=3}^{ \infty }{a_{n-3}x^{n}}+\sum_{n=3}^{ \infty }{x^{n}} \\
 \sum_{n=3}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}=x^3\left(\sum_{n=3}^{ \infty }{a_{n-3}x^{n-3}} \right) +\frac{x^3}{1-x}\\
 \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}-\left( -1-\frac{6}{10}x-\frac{3}{10}x^2\right) =x^3\left(\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} \right) +\frac{x^3}{1-x}\\
A\left( x\right)=x^3A\left( x\right)+\frac{1}{10} \cdot  \frac{10x^3}{1-x}-\left(1+\frac{6}{10}x+\frac{3}{10}x^2 \right) \\
A\left( x\right)\left( 1-x^3\right)=\frac{1}{10} \cdot  \frac{10x^3}{1-x}-\frac{1}{10} \cdot  \frac{\left( 10+6x+3x^2\right)\left( 1-x\right)  }{\left( 1-x\right) } \\
A\left( x\right)\left( 1-x^3\right)=\frac{1}{10} \cdot  \frac{10x^3-\left( 10+6x+3x^2-10x-6x^2-3x^3\right) }{1-x}\\
A\left( x\right)\left( 1-x^3\right)=\frac{1}{10} \cdot  \frac{10x^3-\left( 10-4x-3x^2-3x^3\right) }{1-x}\\  
A\left( x\right)= \frac{1}{10}  \frac{13x^3+3x^2+4x-10}{\left( 1-x^3\right)\left( 1-x\right)  }\\
A\left( x\right)= \frac{1}{10}  \frac{13x^3+3x^2+4x-10}{\left( 1-x\right)^2\left( 1+x+x^2\right)   }\\

Teraz rozłożyłem funkcję tworzącą na sumę szeregów geometrycznych i ich pochodnych

\frac{1}{10}  \frac{13x^3+3x^2+4x-10}{\left( 1-x\right)^2\left( 1+x+x^2\right)   }=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{\left( 1-x\right)^2 }+\frac{C}{1-\lambda_{1}x}+\frac{D}{1-\lambda_{2}x}
gdzie \left(1-\lambda_{1}x \right)\left( 1-\lambda_{2}x\right)=1+x+x^2

Po porównaniu współczynników przy wielomianach w liczniku dostajemy układ równań

\begin{cases} 4A+\left( -2+2 \sqrt{3}i \right)C+\left( -2-2 \sqrt{3}i \right)D=-\frac{26}{5}   \\ -4B-4\sqrt{3}iC+4\sqrt{3}iD=-\frac{6}{5}\\-4B+\left( 6+2\sqrt{3}i\right)C+\left( 6-2\sqrt{3}i\right)D=-\frac{8}{5}\\-4A-4B-4C-4D=4  \end{cases}

Zapisując w postaci macierzowej

\begin{bmatrix} 4&0&-2+2 \sqrt{3}i&-2-2 \sqrt{3}i   \\ 0&-4&-4 \sqrt{3}i&4 \sqrt{3}i\\ 0&-4&6+2 \sqrt{3}i&6+2 \sqrt{3}i\\-4&-4&-4&-4  \end{bmatrix} \cdot  \begin{bmatrix}A  \\ B\\C\\D \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\frac{26}{5}  \\-\frac{6}{5} \\-\frac{8}{5}\\4 \end{bmatrix}\\
X=\begin{bmatrix} 4&0&-2+2 \sqrt{3}i&-2-2 \sqrt{3}i   \\ 0&-4&-4 \sqrt{3}i&4 \sqrt{3}i\\ 0&-4&6+2 \sqrt{3}i&6+2 \sqrt{3}i\\-4&-4&-4&-4  \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}-\frac{26}{5}  \\-\frac{6}{5} \\-\frac{8}{5}\\4 \end{bmatrix}\\
X= \begin{bmatrix}  -\frac{13}{10}\\ \frac{1}{3}\\-\frac{1}{60}+\frac{1}{180}\sqrt{3}i\\-\frac{1}{60}-\frac{1}{180}\sqrt{3}i \end{bmatrix}

\sum_{n=0}^{ \infty }x^n= \frac{1}{1-x}\\
 \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }\left(\sum_{n=0}^{ \infty }x^n \right)= \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }\left(  \frac{1}{1-x} \right)  \\
  \sum_{n=0}^{ \infty }{nx^{n-1}}=-\frac{1}{\left( 1-x\right)^2 }  \cdot \left( -1\right) \\
  \sum_{n=1}^{ \infty }{nx^{n-1}}=\frac{1}{\left( 1-x\right)^2 }   \\
  \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( n+1\right) x^{n}}=\frac{1}{\left( 1-x\right)^2 }   \\

A\left( x\right) =-\frac{13}{10} \cdot  \frac{1}{1-x}+\frac{1}{3} \cdot  \frac{1}{\left( 1-x\right)^2 } +\left( -\frac{1}{60}+\frac{1}{180}\right) \sqrt{3}i \cdot  \frac{1}{1-\left(  \frac{-1- \sqrt{3}i }{2} \right)x }+\left( -\frac{1}{60}-\frac{1}{180}\right) \sqrt{3}i \cdot  \frac{1}{1-\left(  \frac{-1+ \sqrt{3}i }{2} \right)x }   \\
-\frac{1}{60}+\frac{1}{180} \sqrt{3}i =\frac{1}{60}\left( -1+ \frac{ \sqrt{3} }{3}i \right)\\
= \frac{1}{90} \sqrt{3}\left( \cos{\left(  \frac{5}{6}\pi \right) }+i\sin{\left(  \frac{5}{6}\pi \right) }\right)\\
-\frac{1}{60}-\frac{1}{180} \sqrt{3}i =\frac{1}{90} \sqrt{3}\left( \cos{\left( - \frac{5}{6}\pi \right) }+i\sin{\left( - \frac{5}{6}\pi \right) }\right)\\
a_{n}=-\frac{13}{10}+ \frac{1}{3}\left( n+1\right)+ \frac{ \sqrt{3} }{90}\left( \cos{\left( \frac{4n\pi}{3}+\frac{5\pi}{6}\right) }+i\sin{\left( \frac{4n\pi}{3}+\frac{5\pi}{6}\right) }+\cos{\left(- \frac{4n\pi}{3}-\frac{5\pi}{6}\right) }+i\sin{\left(- \frac{4n\pi}{3}-\frac{5\pi}{6}\right) }\right)   \\
=\frac{1}{3}n-\frac{29}{30}+ \frac{ \sqrt{3} }{45}\cos{\left(  \frac{\pi}{6}\left( 8n+5\right)  \right) } \\

f\left( t\right) =\frac{1}{3}t-\frac{29}{30}+ \frac{ \sqrt{3} }{45}\cos{\left(  \frac{\pi}{6}\left( 8t+5\right)  \right) } \\
f\left( x\right)= \frac{2}{3}x-\frac{29}{30}+ \frac{ \sqrt{3} }{45}\cos{\left(  \frac{\pi}{6}\left( 16x+5\right)  \right) } \\

Jak policzyć funkcję odwrotną do tej funkcji ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sty 2016, o 19:03 
Użytkownik

Posty: 13581
Lokalizacja: Bydgoszcz
Ta funkcja jest ścisle rosnąca (nie sprawdzam rachunków, odnoszę się tylko do ostatecznego wzoru), ale znalezienie jawnego wzoru na jej odwrotną pewnie nie jest wykonalne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sty 2016, o 11:21 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6506
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
To że funkcja jest ściśle rosnąca wywnioskowałem po zróżniczkowaniu
Po ograniczeniu sinusa jedynką okazało się że pochodna jest dodatnia na \mathbb{R}

Może być wyrażona jakimiś znanymi funkcjami specjalnymi czy szeregiem
Wolfram nie potrafi znaleźć funkcji odwrotnej

Jakiś pomysł na obliczanie wartości funkcji odwrotnej bez znajomości jej jawnego wzoru ?


Ciekaw jestem czy istnieje taka funkcja g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}
taka że \forall_{2x\in \mathbb{Z}} f\left( x\right)=g\left( x\right)
i którą łatwiej odwrócić ?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 sty 2016, o 14:40 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2505
Ciężki orzech do zgryzienia. Wolfram potrafi odwrócić Twoją funkcję (f(x)) i rozwinąć ją w szereg, ale nie wygląda on atrakcyjnie. Spójrzy tylko:

\frac{3}{2} + x \cdot \frac{135}{90-4 \sqrt{3} \pi } + x^2 \cdot \frac{36450 \pi ^2}{\left(2 \sqrt{3} \pi -45\right)^3}  - x^3 \cdot \frac{10935000 \left(4 \pi ^4-3 \sqrt{3} \pi ^3\right) }{\left(2 \sqrt{3} \pi -45\right)^5} + \ldots.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sty 2016, o 23:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6506
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Medea 2, jakiś wzór ogólny na współczynniki tego szeregu
albo funkcja której różniczkowanie dałoby kolejne współczynniki tego szeregu

Większość ogranicza się do funkcji elementarnych
Jak dla mnie szereg jest ok pod warunkiem że wiadomo jak obliczać jego kolejne wyrazy

Oprócz tego przydałoby się podać promień zbieżności tego szeregu
(przydatne w określeniu dla jakich argumentów można go używać)

Wybrałem losowo jakąś wartość i okazało się że albo promień zbieżności jest mały
albo szereg ten zbiega wolno
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lut 2016, o 07:51 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6506
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Program którego używam pokazał że funkcja odwrotna jest postaci
\frac{3}{2}x+ \frac{29}{20}- \frac{ \sqrt{3} }{30}\cos{\theta}
problem w tym że wartości \theta liczy najprawdopodobniej numerycznie
Medea 2, chyba musiałem niedokładnie wpisywać
Po wpisaniu
Cytuj:
series of inverse function
też mi coś takiego wypluł
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Znajdź funkcję odwrotną - zadanie 3  gree99  2
 znajdź funkcje odwrotną - zadanie 17  geol13  3
 Znajdź funkcję odwrotną - zadanie 19  Ptyszczak  2
 znajdz funkcje odwrotną - zadanie 11  walistopa  13
 Znajdź funkcje odwrotną - zadanie 14  Cloe  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl