szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sty 2016, o 13:26 
Użytkownik

Posty: 1446
Lokalizacja: Sosnowiec
Niech f:\RR^n\rightarrow \RR będzie funkcją wypukłą, która spełnia warunek:

\lim_{|x|\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{|x|}=\infty

Przekształceniem Legendre'a funkcji f nazywamy funkcję f^*:\RR^n\rightarrow\RR daną wzorem:

f^*(p)=\sup_{x\in\RR^n}\left( p\cdot x - f(x)\right)

Moje pierwsze pytanie brzmi, co oznacza ta dziwna granica "moduł dąży do nieskończoności". Nie spotkałem się nigdy z czymś takim.

I drugie pytanie: Skąd wiadomo, że supremum nie jest nieskończonością, czyli funkcja pod supremum jest ograniczona z góry? Zauważyłem, że sama wypukłość (nawet ścisła wypukłość) funkcji f do tego nie wystarcza (kontrprzykładem jest e^{-x}). Zapewne trzeba skorzystać z tego warunku z granicą, ale ja nawet nie wiem co on oznacza.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 11 lut 2016, o 13:28 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10802
Lokalizacja: Wrocław
Rzeczywiście nietypowy zapis. Skoro funkcja leci z \RR^{n} w \RR, to te kreseczki oznaczają zapewne normę euklidesową w \RR^{n}, a nie "moduł" (no dla n=1 to się pokrywa, ale poza tym nie). Czyli gdy norma dąży do +\infty (w \RR^{2}, \RR^{3} łatwo to zinterpretować, jak się wprowadzi współrzędne biegunowe/sferyczne), to wartości \frac{f(x)}{\left| x\right| } dążą do zera. Ja bym to formalnie zapisał tak:
(\forall M \in \RR)(\exists d>0)(\forall x \in \RR^{n})\left(||x||>d \Rightarrow  \frac{f(x)}{||x||}>M \right), ale nie wiem, czy nie tworzę jakichś herezji.

-- 11 lut 2016, o 14:12 --

A tak się zastanawiam, czy z równoważności wszystkich norm w przestrzeni skończonego wymiaru i tego, że w warunku mamy granicę \infty nie wynika, że to zupełnie obojętne, jaką normę weźmiemy? [te kreseńki] Ale akurat chyba euklidesowa jest najbardziej naturalna.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lut 2016, o 14:31 
Użytkownik

Posty: 13562
Lokalizacja: Bydgoszcz
Z warunku na f wynika, że dla dużych |x| funkcja jest dodatnia.
Zatem dla dużych
px-f(x)\leq |p||x|-f(x)=|x|(|p|-\frac{f(x)}{|x|})<0
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Przekształcenie zbioru oraz różnowartościowość funkcji  letter  2
 problem ze zrozumieniem pytania  hbhs  1
 Przekształcenie wykresu - zadanie 5  Zahion  5
 Przekształcenie arg. x na x^2 (?)  patry93  4
 przekształcenie wykresu funkcji - y = |f(x)| jeśli:  klawiatur  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl