szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 sty 2016, o 22:32 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Bydgoszcz
Witam mam następujące zadanie, którego nie potrafię rozwiązać.
Znajdź na płaszczyźnie zespolonej położenie liczb spełniających warunek \Im \frac{1}{z} = 1
Próbowałem znaleźć czym jest Im i nie udało mi się.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 sty 2016, o 22:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6337
Im \left(  \frac{1}{z} \right) =1 \\
Im \left(  \frac{z ^{*} }{zz ^{*} } \right) =1 \\
Im \left(  \frac{z ^{*} }{\left| z\right|^2  } \right) =1 \\
 \frac{-y}{x^2+y^2}=1 \\
-y=x^2+y^2 \\
x^2+(y+ \frac{1}{2} )^2= \frac{1}{4}
co jest okręgiem na płaszczyźnie zespolonej
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2018, o 15:58 
Użytkownik

Posty: 1
Lokalizacja: Toruń
Właśnie uczę się na egzamin z algebry. :) Mam bardzo podobny przykład u mnie na kartce. Pozwól, że zajmę się dokładną analizą mojego a sam dojdziesz jak zrobić swój przykład na podstawie tego wzoru.

Założenie początkowe:
Im(1/z) = 1/2

Podstawowe pytanie: z czego składa się liczba zespolona?
z = a + bi

gdzie:
z - liczba
a - część rzeczywista (rez)
b - część urojona (imz)

W zadaniu mamy do czynienia z częścią urojoną liczby odwrotnej czyli 1/z, która jest równa 1/2 .
Znajdźmy zatem liczbę 1/z:

1/z = 1/(a + bi)

Uprośćmy trochę to wyrażenie by dostać wyrażenie typu
jakaś_część_rzeczywista + jakaś_część_urojona*i

1/z = 1/(a + bi) // Mnożymy razy (a - bi) prawą stronę (#wzory skróconego mnożenia)
1/z = (a - bi) / (a^2 - b^2 * i^2) // Wiemy, że i^2 = -1
1/z = (a - bi) / (a^2 + b^2) // Zauważmy, że w mianowniku mamy moduł |z| do kwadratu
1/z = (a - bi) / |z|^2 // Po odpowiednim przekształceniu otrzymujemy:
1/z = a/|z|^2 - (b/|z|^2)*i

Zatem część urojona naszej liczby 1/z to:
Im(1/z) = -b/|z|^2 // Pamiętamy jednak, że |z|^2 = a^2 + b^2
Im(1/z) = -b / (a^2 + b^2)

Skoro Im(1/z) ma być równe 1/2 to podstawmy to:

1/2 = -b / (a^2 + b^2)
a^2 + b^2 = -2b
a^2 + b^2 -2b = 0
a^2 + (b-1)^2 - 1 = 0
a^2 + (b-1)^2 = 1

Wyszło nam więc faktycznie równanie koła. Teraz, na podstawie końcowego równania prosto jest określić jego promień i środek - wszystkie potrzebne parametry do jego opisania.

Są to już informacje jakie bez problemu można znaleźć w internecie. Sam tylko napiszę ile one wynoszą dla tego przypadku:

Współrzędne środka koła: (0, 1)
Promień koła = 1

Tak? Czyli wszystkie punkty, które leżą na tym kole będą naszym rozwiązaniem.

To mój pierwszy komentarz na tej stronie, więc nie wiem jak korzystać z tych wszystkich pomocnych narzędzi nadających większy komfort czytaniu dlatego proszę o wyrozumiałość, jeżeli chodzi o sposób zapisu przykładu. :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 prosta zespolona  dishaxd  10
 Liczba zespolona do dużej potęgi  VillagerMTV  8
 Liczba zespolona i podanie w postaci algebraicznej  buszmen201  6
 Liczba zespolona z tg  Kukunamuniu  6
 analiza zespolona- czy prawda jest...  qazwsx  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl