szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lut 2016, o 18:03 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Warszawa*
Na ile sposobów można rozdzielić 8 jednakowych czekolad, 10 jednakowych cukierków i 11 jednakowych ciastek pośród 4 różne dzieci.

a) każde dziecko dostanie dowolną ilość słodyczy (włącznie z zerem),
b) każde dziecko dostanie co najmniej 2 ciastka,
c) każde dziecko dostanie po równo czekolad.

Rozwiązanie:

a) {4+8-1 \choose 8} {4+10-1 \choose 10} {4+11-1 \choose 11}

Czy a) jest dobrze ?

Proszę o pomoc z podpunktem b) oraz c) oraz o wyjaśnienie
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2016, o 13:05 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3272
Lokalizacja: blisko
b)

x+y+z+t=8

x+y+z+t=10

x+y+z+t=11 x,y,z \ge 2


Tworzysz wielomian charakterystyczny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2016, o 13:06 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Warszawa*
Proszę o pomoc. Sprawa jest pilna.

b)
{11 \choose 2}{9 \choose 2}{7 \choose 2}{5 \choose 2}{4+3-1 \choose 3}{4+8-1 \choose 8}{4+10-1 \choose 10}

Rozumiem to tak: każde dziecko musi dostać minimum 2 ciastka. Pierwsze dostaje 2 z puli 11, drugie 2 z puli 9, trzecie 2 z pozostałych 7 i ostatnie dostanie 2 z puli 5. Pozostałe 3 ciastka i słodyczne rozdzielam tak jak w podpunkcie a). Dobrze myślę ?

Idąc dalej tym tokiem rozumowania:

c) {8 \choose 2}{6 \choose 2}{4 \choose 2}{2 \choose 2}{4+8-1 \choose 8}{4+10-1 \choose 10}

Pierwsze dostaje 2 drugie dostaje 2 itd. Po rozdaniu wszystkich po równo nie ma już czekolad do rozdania.

Ktoś może potwierdzić poprawność ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2016, o 21:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3272
Lokalizacja: blisko
To w b), że każdy dostanie co najmniej dwa ciastka będzie:

x+y+z+t=11

x,y,z,t \ge 2

Będzie możliwości (współczynnik przy: x^{11}:

(x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10}+x^{11})^4

a wynosi on 20.

teraz mnożysz przez pozostałe słodycze czyli ostatecznie:

{4+8-1 \choose 8}  {4+10-1 \choose 10}  \cdot 20

w przykładzie c) rozdajesz czekoladę po równo czyli masz tylko jedną możliwość, a potem rozdajesz pozostałe słodycze, czyli:

1 \cdot {4+10-1 \choose 10} {4+11-1 \choose 11}


Twoje propozycje dla b) i c) są złe a dla a) dobre.

Rozdawanie poszczególnych słodyczy dla dzieci jest działaniem niezależnym i można je rozpatrywać po kolei czyli mnożysz możliwości po prostu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lut 2016, o 17:11 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Warszawa*
Dzięki arek1357 !

Okazuje się że b) można rozwiązać to bez wielomianu charakterystycznego. Ponieważ ciastka są nierozróżnialne, a każde dziecko musi dostać co najmniej dwa, to dajemy każdemu dziecku po 2 ciastka na jeden możliwy sposób, a na różne sposoby rozdajemy tylko 3 z pozostałych 11 ciastek, pozostałe słodycze rozdajemy tak jak w a) więc:

b) {4 +8 -1 \choose 8}{4 +10 -1 \choose 10}{4 +3 -1 \choose 3}={4 +8 -1 \choose 8}{4 +10 -1 \choose 10} \cdot 20

c) tak jak mówisz, 8 czekolad czwórce dzieci możemy rozdać tylko na jeden sposób tak aby każde miało po 2 czekolady
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 obliczyc sume na kilka sposobow  kur4s  0
 Na ile sposobów można wybrać - zadanie 2  mida  4
 Na ile sposobów... (suma 3 liczb rowna 11)  Anonymous  3
 Na ile sposobów - zadanie 18  Dario1  1
 liczba słów które można ułożyć z dostępnych liter  Chromosom  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl