szukanie zaawansowane
 [ Posty: 13 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2016, o 21:54 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: wyspa
Witam.

x+y+z=3 to x^2+y^2+z^2>=3

Będę wdzięczny za podpowiedź.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2016, o 22:00 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 425
Lokalizacja: Glasgow
Z zależności między średnią kwadratową i arytmetyczną masz:

\sqrt{ \frac{x^2 + y^2 +z^2}{3} }  \ge  \frac{x+y+z}{3}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2016, o 22:05 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: wyspa
A to jak wykazać ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2016, o 22:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 425
Lokalizacja: Glasgow
Jeśli chodzi ci o dowód tej zależności, to podnieś stronami do kwadratu, przenieś wszystko na jedną stronę i złóż w postać "czegoś" do kwadratu. ;)
Jeżeli natomiast nie wiesz jeszcze jak wykazać nierówność daną w zadaniu - wystarczy, że podstawisz x+y+z=3.

PS więcej informacji na temat zależności między średnimi znajdziesz tutaj: https://pl.wikipedia.org/wiki/Nier%C3%B3wno%C5%9B%C4%87_Cauchy%27ego_o_%C5%9Brednich
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 lut 2016, o 22:52 
Użytkownik

Posty: 94
Lokalizacja: Kraków
Chewbacca97 napisał(a):
Jeśli chodzi ci o dowód tej zależności, to podnieś stronami do kwadratu, przenieś wszystko na jedną stronę i złóż w postać "czegoś" do kwadratu.

takie podnoszenie do kwadratu obu stron nierówności bywa ryzykowne:)
Weź choćby:
1 \ge -2
Ale czy 1 \ge 4 ????
Nie jest tak, że dowolną nierówność podniesiemy obustronnie do kwadratu i tę nierówność zachowamy.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2016, o 22:59 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10286
Lokalizacja: Wrocław
Minimalnie inaczej: mamy (x+y+z)^{2}=9 i teraz wystarczy pododawać stornami trzy nierówności typu 2ab \le a^{2}+b^{2}, by otrzymać (x+y+z)^{2} \le 3(x^{2}+y^{2}+z^{2}), po czym dzielimy stronami przez trzy.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2016, o 23:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 425
Lokalizacja: Glasgow
jmb, wiem i oczywiście masz rację. Ja po prostu po cichu założyłem, że x,y,z są nieujemne. Dlatego też poleciłem zastosowanie zależności między średnimi. Zadanie najprawdopodobniej pochodzi z matury i właśnie o to w nim chodzi. :D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lut 2016, o 00:00 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10286
Lokalizacja: Wrocław
Chewbacca97, nierówność między średnią kwadratową a średnią arytmetyczną działa akurat bez założenia dodatniości, bo dla iksów rzeczywistych mamy x^{2}=\left| x\right|^{2} i \left| x\right| \ge x etc. Inna rzecz, że ryzykownie tak jej dowodzić.

-- 3 lut 2016, o 23:00 --

*tak, tj. podnosząc do kwadratu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lut 2016, o 00:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 425
Lokalizacja: Glasgow
Premislav, a można po prostu napisać, że z nierówności Schwarza mamy (x+y+z)^{2} \le 3(x^{2}+y^{2}+z^{2}) ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lut 2016, o 00:14 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10286
Lokalizacja: Wrocław
Tak i jest to chyba najszybsze rozwiązanie. Hehe, sprytne, 3=1^{2}+1^{2}+1^{2}, o tym bym nie pomyślał. :) [to nie ironia]
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lut 2016, o 14:21 
Użytkownik

Posty: 22454
Lokalizacja: piaski
Z (ale na to trzeba wpaść) (x-y)^2+(x-z)^2+(y-z)^2\ge 0 też idzie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lut 2016, o 15:14 
Użytkownik

Posty: 144
Lokalizacja: Polska
x^2+y^2+z^2\ge 3

A czy to nie wynika z tego, że jeśli średnia arytmetyczna tego wyrażenia = 1
to każdy z jej elementów musi równać się 1, bo nie ma mniejszych liczb podniesionych do kwadratu aby ich suma dała 1 ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lut 2016, o 23:16 
Użytkownik

Posty: 22454
Lokalizacja: piaski
Nie wiem o którym wyrażeniu piszesz (co do średniej).

Ale średnia nie oznacza jednakowości składników - ,,małe plus duże daje taką samą średnią co dwa średnie".
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 13 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Usuń niewymierność, wykaż.  VorMan  4
 Wykaż, że wielomian  wecherek89  1
 Wykaż, że nierówność jest prawdziwa (ze średnich)  schleswig  8
 Wykaż, że liczba jest podzielna  Lakus1411  1
 Zadania z cyklu "Udowodnij, wykaż..."  Er  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl