szukanie zaawansowane
 [ Posty: 14 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lut 2016, o 01:37 
Użytkownik

Posty: 68
Lokalizacja: Lublin
Hej, może ktoś wie jak zrobić takie zadanie:
Korzystajac z tw. o ciagu monotonicznym i ograniczonym uzasadnic zbieznosc ciagu:
a _{n}= n^{2} \cdot  e^{-n}
jest to polaczenie ciagu arytmetycznego i geometrycznego i nie bardzo wiem jak sie za to zabrać
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lut 2016, o 01:42 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 3260
Lokalizacja: Brodnica/Toruń
zbadaj dla jakich n

a_{n}>a_{n+1}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lut 2016, o 01:50 
Użytkownik

Posty: 68
Lokalizacja: Lublin
a dlaczego akurat ten warunek a nie a_{n+1}>a_{n}?

Sprawdziłem ten Twój warunek i wyszło że dla każdego n sie zgadza z tymze nie wiem czy sie gdzies nie pomylilem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lut 2016, o 01:59 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 3260
Lokalizacja: Brodnica/Toruń
Dlatego, że mamy tu pewne intuicje względem tego jak będzie się zachowywać ciąg.

Skoro dla każdego n a_{n}>a_{n+1} oznacza to, że ciąg jest ściśle malejący.

Zatem górnym ograniczeniem może być jego pierwszy wyraz.

Drugą obesrwacją powinno być, że ciąg jest dodatnio określony \frac{n^2}{e^n}>0 dla każdego n. Więc:

\frac{1}{e}=a_{1}>a_{2} > ... > a_{n}> a_{n+1}  > ... > 0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lut 2016, o 02:04 
Użytkownik

Posty: 68
Lokalizacja: Lublin
Kacperdev napisał(a):

Drugą obesrwacją powinno być, że ciąg jest dodatnio określony \frac{n^2}{e^n}>0 dla każdego n. Więc:

a skad sie to wzięło?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lut 2016, o 02:11 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 3260
Lokalizacja: Brodnica/Toruń
Oczywista nierówność:

e^n jako funkcja wykladnicza jest zawsze dodatnia (przypomnij sobie jak wyglada wykres takiej funkcji)

n^2 chyba nie trzeba komentować.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lut 2016, o 02:13 
Użytkownik

Posty: 68
Lokalizacja: Lublin
ale chodzi o to dlaczego akurat jest n^{2} na górze, a nie coś innego ? tego nie rozumiem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lut 2016, o 02:17 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 3260
Lokalizacja: Brodnica/Toruń
No a jaki ciąg badamy?

\bigwedge\limits_{n \in \mathbb{N}}  \left( a_{n}=\frac{n^2}{e^n}>0\right)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lut 2016, o 02:21 
Użytkownik

Posty: 68
Lokalizacja: Lublin
i piszac te dwie wlasnosci mozemy stwierdzic ze ciag jest ograniczony tak?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lut 2016, o 02:24 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 3260
Lokalizacja: Brodnica/Toruń
Tak. Właściwie 402598.htm#p5408466 napisałem już pełny dowód.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lut 2016, o 16:39 
Użytkownik

Posty: 68
Lokalizacja: Lublin
Ale coś tu jednak jest nie tak, no bo wezmy sobie n=1 i n=2

wtedy wyraz a_{2} > a_{1} Czyli coś nie tak zrobione.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lut 2016, o 18:20 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 3260
Lokalizacja: Brodnica/Toruń
Racja... dopiero od a_2 jest ściśle monotoniczna. (to wychodzi swoja drogą z nierówności kwadratowej).

No to pomyśl sam... od pierwszego do drugiego rosnie, a potem juz maleje. Czym mogę szacować?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lut 2016, o 18:33 
Użytkownik

Posty: 68
Lokalizacja: Lublin
no że ciąg jest ograniczony z góry i z dołu , do tego dodatnio określony? Ale dlaczego nie wyszedł ten błąd przy sprawdzaniu an>an+1 ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lut 2016, o 21:53 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13320
Lokalizacja: Wrocław
Ponieważ zapewne niedokładnie sprawdzałeś. Dla n \in \NN mamy
n^{2} \cdot e^{-n}>(n+1)^{2}e^{-n-1} \Leftrightarrow n^{2}>  \frac{(n+1)^{2}}{e} \Leftrightarrow \left( n- \frac{n+1}{\sqrt{e}} \right)\left(n+ \frac{n+1}{\sqrt{e}}  \right)>0 \Leftrightarrow n- \frac{n+1}{ \sqrt{e} }>0
i łatwo widać, że \sqrt{e}<2, gdy zna się szacowanie e<3. Z drugiej strony np. e>2,25, więc\sqrt{e}>1,5, toteż dla n \ge 2 już nierówność działa.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 14 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 ciąg monotoniczny i ograniczony  wioleczka  1
 Ciąg geometryczny i arytmetyczny - zadanie 7  rumun1990  1
 ciąg liczb monotoniczność  damian.szopen  4
 Ciąg geometryczny - zadanie 186  mab0913  2
 Kiedy suma jest najmniejsza ciąg arytmetyczny  mia1oo0  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl