szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lut 2016, o 15:15 
Użytkownik

Posty: 73
Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb a, b i c zachodzi nierówność \frac{2a+1}{b+c+1}+ \frac{2b+1}{c+a+1}+ \frac{2c+1}{a+b+1} \ge 3.
Podstawiłem x=\frac{2a+1}{b+c+1}, y=\frac{2b+1}{c+a+1} i z=\frac{2c+1}{a+b+1}, następnie próbowałem dowieść, że xyz \ge 1, czyli uzasadnić, że (2a+1)(2b+1)(2c+1) \ge (b+c+1)(c+a+1)(a+b+1).
W końcu zauważyłem, że tej ostatniej nierówności nie spełniają chociażby liczby (a,b,c)=(1,2,3), choć spełniają one nierówność wyjściową. Nie wiem, gdzie mam błąd myślowy.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lut 2016, o 15:32 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10272
Lokalizacja: Wrocław
Nierówność, z którą "wyjeżdżasz" byłaby warunkiem dostatecznym by teza z zadania zachodziła, ale nie jest warunkiem koniecznym. No i cóż, jest ona nieprawdziwa (dokładniej nie zawsze prawdziwa).

-- 4 lut 2016, o 15:01 --

Moja propozycja (brzydka jak moja gęba, ale cóż zrobić, życie :lol: :lol: :lol: ):
podstawmyż a+b=x, a+c=y, b+c=z. Wtedy 2a=x+y-z, 2b=x+z-y
oraz 2c=y+z-x. Nierówność przyjmuje formę:
\frac{x+y-z+1}{z+1} + \frac{x+z-y+1}{y+1} + \frac{-x+y+z+1}{x+1}  \ge 3
Możemy to inaczej zapisać o tak:
\frac{x+1}{z+1} + \frac{y+1}{z+1} + \frac{x+1}{y+1} + \frac{z+1}{y+1} + \frac{y+1}{x+1} + \frac{z+1}{x+1}  \ge 6, co na mocy AM-GM jest prawdą.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lut 2016, o 12:15 
Użytkownik

Posty: 73
Dzięki wielkie. Zainspirowany Twoim rozwiązaniem znalazłem nieco ładniejsze podstawienie. Mianowicie: x=b+c+1, y=c+a+1 i z=a+b+1. Dla tych niewiadomych nierówność przyjmuje postać \frac{y+z-x}{x}+ \frac{x+z-y}{y}+ \frac{x+y-z}{z} \ge 3. Teraz tylko rozbicie ułamków i AM-GM :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lut 2016, o 12:54 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10272
Lokalizacja: Wrocław
Proszę bardzo. Fajnie, że znalazłeś trochę ładniejszy sposób.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lut 2016, o 16:45 
Gość Specjalny

Posty: 3008
Lokalizacja: Gołąb
Nie wiem, czy mój post będzie zrozumiały i sensowny, ale nie powstrzymam się przed zaproponowaniem innego rozwiązania :)
Niech S=a+b+c oraz f\left(x\right)=\frac{2x+1}{S-x+1}. Sprawdzamy (licząc drugą pochodną), że funkcja ta jest wypukła w przedziale \left(0,S\right) a nasza nierówność natychmiast wynika z zastosowania nierówności Jensena :D
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 5 lut 2016, o 17:18 
Użytkownik

Posty: 1258
Wychodzi też wprost Cauchym-Schwarzem, ale ładnym to tego nie nazwę, raczej rozpaczliwym.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Jak pokazać, że nierówności są prawdziwe?  KasienkaG  7
 Rownanie i nierówności  joasia8a  2
 Rozwiązywanie nierówności - zadanie 30  yomi145  5
 Nierówność między średnią arytmetyczną i geometryczną  Kalkulatorek  3
 rozwiązywanie równań, nierówności  Jooe  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl