szukanie zaawansowane
 [ Posty: 60 ]  Przejdź na stronę 1, 2, 3, 4  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2016, o 17:11 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Wrocław
Od kilku dni próbuje rozwiązać to "proste" zadanie i nie daje mi to spać spokojnie.
Nie jest to zadanie z ćwiczeń, potrzebuję tego wzoru do czegoś innego. Niemniej powinno mieć rozwiązanie, ponieważ można narysować tylko jeden taki trójkąt.

Wyprowadź wzór na podstawę trójkąta równoramiennego ABC gdy dane są:
d - długość ramienia trójkąta
v - długość odcinka poprowadzonego z lewego dolnego wierzchołka (A) na przeciwległe ramię (BC)
\alpha - kąt między tym odcinkiem a podstawą trójkąta
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2016, o 18:43 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Optymistyk napisał(a):
v - długość odcinka poprowadzonego z lewego dolnego wierzchołka (A) na przeciwległe ramię (BC)
Którego odcinka? Jest ich wiele.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2016, o 19:13 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Wrocław
norwimaj napisał(a):
Optymistyk napisał(a):
v - długość odcinka poprowadzonego z lewego dolnego wierzchołka (A) na przeciwległe ramię (BC)
Którego odcinka? Jest ich wiele.

odcinka poprowadzonego z A do pewnego punktu na BC pod kątem \alpha względem podstawy. Tylko tyle jest wiadomo.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2016, o 20:32 
Użytkownik

Posty: 430
Lokalizacja: Wrocław
W układzie współrzędnych zaznaczyłem punkty:
A(0,0), B(a,0), C( \frac{1}{2} a, p), D(v\cos(\alpha), v\sin(\alpha)), gdzie p= \sqrt{d^{2}- \frac{1}{4}a^{2} }

Wyznaczyłem równanie prostej przechodzącej przez punkty B i C
Wstawiłem współrzędne punktu D do równania prostej.

Niestety po przekształceniach otrzymałem takiego potwora:

a^{4}-(2v\cos(\alpha))a^{3}+(v^{2}-4d^{2})a^{2}+(8vd^{2}\cos{\alpha)a-4v^{2}d^{2}\cos^{2}(\alpha)=0

Chyba błędu rachunkowego nie popełniłem, bo po wstawieniu danych \cos(\alpha)=1 i a=v wielomian się zeruje.

Może komuś uda się wyznaczyć a. Na desperata można użyć wzorów Ferrari :-)
Chyba pozostaje do tego zadania podejść od strony geometrycznej, bo podejście analityczne nie działa.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2016, o 20:37 
Użytkownik

Posty: 1424
Lokalizacja: Warszawa
Niech D będzie punktem przecięcia odcinka o długości v z ramieniem BC i niech a=AB, x=BD. Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABD mamy x^2=a^2+v^2-2av\cos\alpha. Niech \angle BDA=\beta. Z twierdzenia cosinusów dla tego samego trójkąta otrzymujemy \cos\beta=\frac{v^2+x^2-a^2}{2vx}. Z kolei z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ADC jest \cos(180^\circ-\beta)=\frac{v^2+(d-x)^2-d^2}{2v(d-x)}=-\cos\beta. Otrzymujemy układ równań

\begin{cases} x^2=a^2+v^2-2av\cos\alpha \\ \frac{v^2+x^2-a^2}{2vx}=-\frac{v^2+(d-x)^2-d^2}{2v(d-x)} \end{cases}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2016, o 20:37 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Trójkąt ten nie jest konstruowalny za pomocą cyrkla i linijki przy danych d,v,\alpha. Rachunkowo można otrzymać jakieś mniej lub bardziej skomplikowane równania, na przykład:

v\left(\frac{\tg\alpha}{\sqrt{4d^2-a^2}}+\frac1a \right) \cos\alpha = 1,

gdzie a - długość podstawy.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2016, o 22:25 
Użytkownik

Posty: 5269
Lokalizacja: Staszów
Ta konstrukcja nie jest możliwa do wykonania po platońsku, zatem i "po kartezjańsku", obrachunkiem.
W.Kr.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2016, o 22:53 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Co to znaczy, że konstrukcja nie jest możliwa do wykonania "po kartezjańsku"?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2016, o 23:05 
Użytkownik

Posty: 5269
Lokalizacja: Staszów
Jak nie da się narysować po platońsku, to i analitycznie (kartezjańsko) też nie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2016, o 23:18 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
A ja pytam, co to znaczy, że się nie da analitycznie? Czy mając dany odcinek a można analitycznie wyznaczyć taki odcinek b, że sześcian o krawędzi b ma dwa razy większą objętość, niż sześcian o krawędzi a?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2016, o 23:23 
Użytkownik

Posty: 5269
Lokalizacja: Staszów
Nie ma jak wyznaczyć spodka wierzchołka tego trójkąta na podstawę tak, by dzielił ja na połówki. Brak jest kąta u podstawy lub jej miary.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2016, o 23:51 
Użytkownik

Posty: 430
Lokalizacja: Wrocław
Kod:
1
2
3
4
5
6
7
8
>>
syms v z d a
solve('z^4 - 2*v*z^3*cos(a) - z^2*(4*d^2 - v^2) + 8*d^2*v*z*cos(a) - 4*d^2*v^2*cos(a)^2', z)
 
ans =
 
RootOf(z1^4 - 2*v*z1^3*cos(a) - z1^2*(4*d^2 - v^2) + 8*d^2*v*z1*cos(a) - 4*d^2*v^2*cos(a)^2, z1)


Chciałem, aby Matlab wyznaczył rozwiązanie symboliczne mojego równania 4 stopnia, ale wyświetla komunikat RootOf, ale przecież równania 4 stopnia mają rozwiązania ?

-- 6 lut 2016, o 23:08 --

Jeśli moje wyprowadzone równanie jest prawidłowe to długość podstawy trójkąta wyraża się jednym z tych wzorów:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve(x%5E4-(2vcos(a))x%5E3%2B(v%5E2-4d%5E2)x%5E2%2B(8vd%5E2cos(a))x-4v%5E2d%5E2(cos(a))%5E2,x)
Można więc powiedzieć, że zadanie rozwiązane :-) Teraz można o ile się da skrócić wyrażenie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2016, o 00:46 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
kruszewski napisał(a):
Nie ma jak wyznaczyć spodka wierzchołka tego trójkąta na podstawę tak, by dzielił ja na połówki. Brak jest kąta u podstawy lub jej miary.
Daleki jestem od twierdzenia, że nie da się wyznaczyć tego trójkąta bo czegoś brakuje. Twierdzę tylko, że nie da się tego zrobić za pomocą konstrukcji platońskiej. Co więcej, nie twierdzę tego bezpodstawnie, bo obmyśliłem już dowód.

Załóżmy, że istnieje konstrukcja platońska, która pozwala uzyskać żądany trójkąt. Skonstruujmy kąt o mierze \alpha=30^{\circ} i ustalmy dowolny odcinek d. Wykonajmy konstrukcję trójkąta, przyjmując v=d. Konstrukcja daje nam jedno rozwiązanie trywialne i jedno mniej trywialne, w którym kąt przy podstawie trójkąta ma miarę 50^{\circ}. Jednak z algebry wiadomo, że żadna konstrukcja platońska nie może dać takiego kąta.

A fakt, że jeśli coś się nie da platońsko, to nie da się też analitycznie, włóżmy między bajki. Przykład z sześcianem i sześcianem o dwa razy większej objętości jest aż nadto znany.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2016, o 07:27 
Użytkownik

Posty: 5269
Lokalizacja: Staszów
Pisze Pan: "Co więcej, nie twierdzę tego bezpodstawnie, bo obmyśliłem już dowód."

A np. trysekcja kąta? Są kąty co dają podzielić się na trzy (równe :) ) części, ale to nie jest dowód na możliwość takich dokonań w ogólności.
"A fakt, że jeśli coś się nie da platońsko, to nie da się też analitycznie, włóżmy między bajki. Przykład z sześcianem i sześcianem o dwa razy większej objętości jest aż nadto znany." Fakt!
Ale jeżeli w sposobie platońskim brakuje czego tam do rozwiązania, to w metodzie kartezjańskiej też go nie znajdziemy i na tym owy myk polega. Brak jest jednej "możliwości" konstrukcyjnej , a co za tym idzie i jednego równania geometrii analitycznej.
Pisze Pan też:
"Załóżmy, że istnieje konstrukcja platońska, która pozwala uzyskać żądany trójkąt. Skonstruujmy kąt o mierze \alpha=30^{\circ} i ustalmy dowolny odcinek d."
Ten kąt jest konstruowalny, ale to jest szczególne rozwiązanie i nie poprowadzi nas do uogólnień.
Z szacunkiem,
W.Kr.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2016, o 10:46 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
kruszewski napisał(a):
A np. trysekcja kąta? Są kąty co dają podzielić się na trzy (równe :) ) części, ale to nie jest dowód na możliwość takich dokonań w ogólności.
Wszystko pięknie, ale najpierw czytajmy, a dopiero potem odpowiadajmy.

kruszewski napisał(a):
Ale jeżeli w sposobie platońskim brakuje czego tam do rozwiązania, to w metodzie kartezjańskiej też go nie znajdziemy i na tym owy myk polega.
Tak się składa, że niczego nie brakuje. Zapewniał o tym już na początku Optymistyk, a później Straznik Teksasu i Majeskas potwierdzili to układając równania, które mają co najwyżej kilka rozwiązań.

kruszewski napisał(a):
Ten kąt jest konstruowalny, ale to jest szczególne rozwiązanie i nie poprowadzi nas do uogólnień.
Jeśli konstrukcja nie jest możliwa w szczególnym przypadku, to w ogólnym tym bardziej.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 60 ]  Przejdź na stronę 1, 2, 3, 4  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 9 wzorów na pole trójkąta  Anonymous  12
 Oblicz wysokość trójkąta równoramiennego  Anonymous  1
 Oblicz długośći boków trójkąta. Dany obwód i pole  Anonymous  11
 Oblicz pole trójkąta - podobieństwo trójkątów  Anonymous  2
 Przy jakiej długości boków trójkąta obwód jest najm  Anonymous  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl