szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lut 2016, o 19:44 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Olsztyn
Z treści zadania mamy:
x i y są nieujemnymi liczbamy rzeczywistymi.
x \ge y
Muszę wykazać zachodzenie nierówności:
x^{4} + y^{4} \ge 2xy^{3}

Doszedłem do:
x(x^{3}-y^{3})+y^{3}(y-x)
Wiemy, że x \ge y, więc jak to udowodnić?
y^{3}(y-x)  \le 0, bo x \ge y, więc
x(x^{3}-y^{3})   \ge y^{3}(y-x)
skąd wyjdzie x^{4}  \ge  y^{4}?
To byłoby za łatwe :P
Pozdrawiam,
BK.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 6 lut 2016, o 19:54 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9884
Lokalizacja: Wrocław
To nie jest prawdą (przynajmniej nie zawsze). x=y=2 i dostajesz ciekawą nierówność
32 \ge 64. Może chodziło o
x^{4} + y^{4} \ge 2xy^{3}? Jeśli tak, to wystarczy 2xy^{3} \le 2x^{2}y^{2} \le x^{4}+y^{4} - ostatnia nierówność wynika z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną lub ze zwinięcia do (x^{2}-y^{2})^{2} \ge 0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2016, o 12:11 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Olsztyn
Premislav napisał(a):
Może chodziło o
x^{4} + y^{4} \ge 2xy^{3}?

Tak, dzięki, poprawiłem :)

Premislav napisał(a):
Jeśli tak, to wystarczy 2xy^{3} \le 2x^{2}y^{2} \le x^{4}+y^{4} - ostatnia nierówność wynika z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną lub ze zwinięcia do (x^{2}-y^{2})^{2} \ge 0

Czy mój sposób jest też dobry?
(poprawiłem post wyżej)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2016, o 12:55 
Użytkownik

Posty: 738
Lokalizacja: Warszawa
Premislav napisał(a):
2xy^{3} \le 2x^{2}y^{2}


To nie jest prawda, y=3,x=2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2016, o 13:02 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Olsztyn
Milczek napisał(a):
To nie jest prawda, y=3,x=2


Założeniem jest x  \ge  y.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2016, o 13:08 
Użytkownik

Posty: 738
Lokalizacja: Warszawa
Racja, nie zauważyłem :P
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 7 lut 2016, o 14:36 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4328
Lokalizacja: Łódź
\left( x ^{2}-y ^{2}  \right) ^{2} \ge 0 \\ \\
x ^{4}-2x ^{2} y ^{2} +y ^{4} \ge 0 \\ \\
x ^{4}+y ^{4}   \ge 2x ^{2} y  ^{2}   \ge 2xy ^{3}

Ostatnia nierówność zachodzi ponieważ x \ge y
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 7 lut 2016, o 14:59 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9884
Lokalizacja: Wrocław
BKDev, ja nie rozumiem Twojego sposobu. OK, dochodzisz do x(x^{3}-y^{3})+y^{3}(y-x)\ge 0 i faktycznie prawdą jest to, że x(x^{3}-y^{3})\ge y^{3}(y-x), ale z tego, że a\ge 0 \wedge a\ge b nie wynika, że a+b\ge 0.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2016, o 15:32 
Użytkownik

Posty: 12588
Lokalizacja: Bydgoszcz
A może tak:
x^4+y^4\geq xy^3+x^3y=xy(x^2+y^2)\geq 2xy^3
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lut 2016, o 14:44 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Olsztyn
Premislav napisał(a):
BKDev, ja nie rozumiem Twojego sposobu. OK, dochodzisz do x(x^{3}-y^{3})+y^{3}(y-x)\ge 0 i faktycznie prawdą jest to, że x(x^{3}-y^{3})\ge y^{3}(y-x), ale z tego, że a\ge 0 \wedge a\ge b nie wynika, że a+b\ge 0.

Masz rację. Dopiero teraz zauważyłem mój błąd, dzięki.
kropka+ napisał(a):
\left( x ^{2}-y ^{2}  \right) ^{2} \ge 0 \\ \\
x ^{4}-2x ^{2} y ^{2} +y ^{4} \ge 0 \\ \\
x ^{4}+y ^{4}   \ge 2x ^{2} y  ^{2}   \ge 2xy ^{3}
Ostatnia nierówność zachodzi ponieważ x \ge y

Ok, logiczne, dzięki :)

Pozostaje mi jedno pytanie...jak wpaść na sposób rozwiązania? :mrgreen:
Gdy próbuję myślenia "out-of-box" nieraz i tak schodzę na to samo rozwiązanie :P
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Nierówności- problemy z rozwiązaniem.  Foqusonik  1
 Jakiej nierówności rozwiązaniem jest dany przedział.  monika91  4
 Udowodnij nierówności dla liczb spełniających warunki..  evelajka  1
 Rozwiąż nierówności-wynik podaj w postaci przedzialu liczbow  kati_999  1
 Wykazywanie nierówności i podzielności liczby.  KuroiTenshi  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl