szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 7 lut 2016, o 18:14 
Użytkownik

Posty: 17
Lokalizacja: warszawa
Mam pewien problem ze zrozumieniem pewnej rzeczy w dowodzie nierówności Jensena. Mianowicie:
Dowód przebiega indukcyjnie.
Trzeba dowieść, że :

f \left( \sum_{i=1}^{n}  \beta_{i}x_{i} \right)  \le \sum_{i=1}^{n}  \beta_{i}f \left( x_{i} \right) .

Nierówność ma zachodzić dla każdej

\left[ 0;1 \right] \ni\beta_{i}, \sum_{i=1}^{n}  \beta_{i}=1.\\
\sum_{i=1}^{n-1}  \frac{ \beta_{i}}{ \left( 1-\beta_{i} \right) }=1.

f \left( \sum_{i=1}^{n}  \beta_{i}x_{i} \right)  =f \left( \sum_{i=1}^{n-1}  \left(  \beta_{i}x_{i} \right)  + \beta_{n}x_{n} \right) =
f \left(  \left( 1-\beta_{n} \right) \sum_{i=1}^{n-1}  \left(  \frac{\beta_{i}}{1-\beta_{n}}x_{i} \right) +\beta_{n}x_{n} \right)  \le \\ \le
 \left( 1-\beta_{n} \right)  \sum_{i=1}^{n-1}f \left( x_{i} \right) +\beta_{n}f \left( x_{n}\right) =\sum_{i=1}^{n}\beta_{i}f \left( x_{i} \right) .

Nie wiem, dlaczego zachodzi ostatnia równość :?
Po pomnożeniu \left( 1-\beta_{n} \right) przez sumę f \left( x_i \right), ewidentnie nie równa się to ostatniemu wyrażeniu :(
Z kolei:
\left( 1-\beta_{n} \right) =\sum_{i=1}^{n-1}\beta_{i}, i dostaję iloczyn dwóch sum (tej i sumy f \left( x_i \right)) :/

Proszę o pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2016, o 18:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 651
Lokalizacja: Wojkowice
W założeniach do tego twierdzenia mamy, że f jest funkcją wypukłą. Z tego to wynika.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 7 lut 2016, o 18:31 
Użytkownik

Posty: 17
Lokalizacja: warszawa
Rzeczywiście... Myślałam, że ma to wynikać bezpośrednio z rachunków.
Dziękuję. :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2016, o 21:25 
Użytkownik

Posty: 13575
Lokalizacja: Bydgoszcz
amumu napisał(a):
Mam pewien problem ze zrozumieniem pewnej rzeczy w dowodzie nierówności Jensena. Mianowicie:
Dowód przebiega indukcyjnie.
Trzeba dowieść, że :

f \left( \sum_{i=1}^{n}  \beta_{i}x_{i} \right)  \le \sum_{i=1}^{n}  \beta_{i}f \left( x_{i} \right) .

Nierówność ma zachodzić dla każdej

\left[ 0;1 \right] \ni\beta_{i}, \sum_{i=1}^{n}  \beta_{i}=1.\\
\sum_{i=1}^{n-1}  \frac{ \beta_{i}}{ \left( 1-\beta_{i} \right) }=1.

f \left( \sum_{i=1}^{n}  \beta_{i}x_{i} \right)  =f \left( \sum_{i=1}^{n-1}  \left(  \beta_{i}x_{i} \right)  + \beta_{n}x_{n} \right) =
f \left(  \left( 1-\beta_{n} \right) \sum_{i=1}^{n-1}  \left(  \frac{\beta_{i}}{1-\beta_{n}}x_{i} \right) +\beta_{n}x_{n} \right)  \le \\ \red \le
 \left( 1-\beta_{n} \right)  \sum_{i=1}^{n-1}f \left( x_{i} \right) +\beta_{n}f \left( x_{n}\right) \black=\sum_{i=1}^{n}\beta_{i}f \left( x_{i} \right) .

Nie wiem, dlaczego zachodzi ostatnia równość :?
Po pomnożeniu \left( 1-\beta_{n} \right) przez sumę f \left( x_i \right), ewidentnie nie równa się to ostatniemu wyrażeniu :(
Z kolei:
\left( 1-\beta_{n} \right) =\sum_{i=1}^{n-1}\beta_{i}, i dostaję iloczyn dwóch sum (tej i sumy f \left( x_i \right)) :/

Proszę o pomoc.


A skąd masz tę czerwoną?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2016, o 21:52 
Administrator

Posty: 21370
Lokalizacja: Wrocław
a4karo napisał(a):
A skąd masz tę czerwoną?

W oryginale było:

\le (1-\beta_{n})(\sum_{i=1}^{n-1}f(x_{i})+\beta_{n}f(x_{n})

a ja edytując usunąłem niesparowany nawias.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2016, o 22:40 
Użytkownik

Posty: 13575
Lokalizacja: Bydgoszcz
Co nie zmienia faktu braku uzasadnienia dla takiego przejscia. Powinno być:
f \left( \sum_{i=1}^{n} \beta_{i}x_{i} \right) =f \left( \sum_{i=1}^{n-1} \left( \beta_{i}x_{i} \right) + \beta_{n}x_{n} \right) = f \left( \left( 1-\beta_{n} \right) \sum_{i=1}^{n-1} \left( \frac{\beta_{i}}{1-\beta_{n}}x_{i} \right) +\beta_{n}x_{n} \right) \le \\ 
 \red\le\black \left( 1-\beta_{n} \right) f \left( \sum_{i=1}^{n-1}  \frac{\beta_{i}}{1-\beta_{n}}x_{i} \right) +\beta_{n}f \left( x_{n}\right) \\
\green\leq\black (1-\beta_n)\sum_{i=1}^{n-1} \left( \frac{\beta_{i}}{1-\beta_{n}}f(x_{i}) \right)+\beta_{n}f \left( x_{n}\right)\\
=\sum_{i=1}^{n} \beta_{i}f \left( x_{i}\right)

przy czym czerwona nierówność wynika z definicji funkcji wypukłej, zaś zielona z założenia indukcyjnego i faktu, że \sum_{i=1}^{n-1} \left( \frac{\beta_{i}}{1-\beta_{n}}\right)=1
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 7 lut 2016, o 22:51 
Użytkownik

Posty: 17
Lokalizacja: warszawa
@a4karo: mam ją dokonując przekształceń poprzedzającego wyrażenia.
Patrząc teraz na to mam jeszcze jedno pytanie: dlaczego zachodzi taka nierówność? Tzn, dlaczego nie jest to równość?
Czy wartość funkcji od sumy zmiennych nie jest równa sumie wartości funkcji od zmiennych?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2016, o 22:56 
Użytkownik

Posty: 13575
Lokalizacja: Bydgoszcz
amumu napisał(a):
@a4karo: mam ją dokonując przekształceń poprzedzającego wyrażenia.
Patrząc teraz na to mam jeszcze jedno pytanie: dlaczego zachodzi taka nierówność? Tzn, dlaczego nie jest to równość?
Czy wartość funkcji od sumy zmiennych nie jest równa sumie wartości funkcji od zmiennych?


Cóż, moi studenci za samą taka myśl dostają ndst. (x+y)^2=x^2+y^2 brrrr....
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2016, o 23:01 
Administrator

Posty: 21370
Lokalizacja: Wrocław
a4karo napisał(a):
Cóż, moi studenci za samą taka myśl dostają ndst. (x+y)^2=x^2+y^2 brrrr....

No cóż, znane "twierdzenie" mówiące o tym, że każda funkcja jest addytywna...

JK
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 8 lut 2016, o 01:35 
Użytkownik

Posty: 17
Lokalizacja: warszawa
amumu napisał(a):
@a4karo: mam ją dokonując przekształceń poprzedzającego wyrażenia.
Patrząc teraz na to mam jeszcze jedno pytanie: dlaczego zachodzi taka nierówność? Tzn, dlaczego nie jest to równość?
Czy wartość funkcji od sumy zmiennych nie jest równa sumie wartości funkcji od zmiennych?


Dla f. liniowych tak..

Zmęczenie chyba dało o sobie znać, chociaż nie ma żadnego usprawiedliwienia na taką głupotę. :oops:
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Problem z zadaniem z funkcjami okresowymi  Anonymous  2
 Część całkowita z x - ważny problem!  bolo  4
 Ograniczoność funkcji. Nierówność na kresach.  reksiak  0
 Dowód nierówności Jensena  neworder  1
 nierówność Jensena  Mapedd  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl