szukanie zaawansowane
 [ Posty: 30 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2016, o 20:14 
Użytkownik

Posty: 27
Lokalizacja: Białystok
Jak to udowodnić? Próbowałem i do niczego nie doszedłem.
Założenie: x,y,z są dodatnie i xy+yz+zx>x+y+z
Teza: x+y+z>3
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2016, o 20:45 
Użytkownik

Posty: 13521
Lokalizacja: Bydgoszcz
Mnożąc przez 2 i dodając x^2+y^2+z^2 do obu stron dostajemy
(x+y+z)^2>(x+1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2-3, a prawa strona z nierówności między średnia kwadratową i arytmetyczną jest \geq \frac{(x+y+z+3)^2}{3}-3

Ta nierównośc kwadratowa zmiennej t=x+y+z jest spełniona dla t<0 i t>3, co kończy dowód.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2016, o 20:52 
Użytkownik

Posty: 27
Lokalizacja: Białystok
Nie można tego inaczej niż przy zależności między średnimi? Nawet nie wiem jak zrobiłeś z tymi średnimi, bo jeżeli te operacje wykonujesz do drugiego założenia to wychodzi mi:
xy+yz+zx>x+y+z / \cdot 2
2xy+2yz+2zx>2x+2y+2z   /+(x^{2}+y^{2}+z ^{2})
(x+y+z)^{2}>2x+2y+2z+x^{2}+y^{2}+z^{2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2016, o 21:10 
Użytkownik

Posty: 13521
Lokalizacja: Bydgoszcz
Pewnie można

-- 7 lut 2016, o 21:18 --

Jeżeli x\neq y, to podstawiając x'=y'=\frac{x+y}{2} nie zmieniamy prawej strony. Sprawdź, co się dzieje z lewą.
Kontynuuj ten proces. Co dostaniesz w granicy?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2016, o 21:19 
Użytkownik

Posty: 27
Lokalizacja: Białystok
Jakiej granicy? Jestem z 1 klasy liceum i nie do końca rozumiem to co teraz napisałeś.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2016, o 21:23 
Użytkownik

Posty: 7346
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Do czego to zadanie? Jeśli konkursowe to średnie są pierwszą rzeczą jaką się poznaje.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2016, o 21:24 
Użytkownik

Posty: 27
Lokalizacja: Białystok
Nie jest to zadanie konkursowe, to zadanie z serii na dowód. Chyba w 1 klasie jeszcze nie będę miał tej zależności.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2016, o 21:25 
Użytkownik

Posty: 10764
Lokalizacja: Wrocław
Można bez średnich, ale nie wiem, po co ich unikać.
Mamy (x-y)^{2}+(x-z)^{2}+(y-z)^{2} \ge 0 \Leftrightarrow 3(x^{2}+y^{2}+z^{2}) \ge (x+y+z)^{2} \Rightarrow 3(x^{2}+y^{2}+z^{2}) > x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(x+y+z) \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}>x+y+z
Ta implikacja w prawo to skorzystanie z założenia.
Otrzymaliśmy x^{2}+y^{2}+z^{2}>x+y+z, dodajemy stronami 2(xy+xz+yz) i mamy
(x+y+z)^{2}>x+y+z+2(xy+yz+zx)>3(x+y+z) (ponownie korzystam z założenia). Podstawiam t=x+y+z (wtedy t>0) i dostaję t^{2}-3t>0, czyli t(t-3)>0, a więc skoro t>0, to musi być t>3

-- 7 lut 2016, o 21:29 --

W zasadzie cała różnica polega na tym, że inaczej pokazuję 3(x^{2}+y^{2}+z^{2}) \ge (x+y+z)^{2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2016, o 21:30 
Użytkownik

Posty: 27
Lokalizacja: Białystok
Premislav, zaraz postaram się zrozumieć ten dowód. Mam jeszcze problem z tym:
Założenie: x+y+z=1
Teza: xy+yz+zx \le  \frac{1}{3}
z=1-y-x
xy+y(1-y-x)+x(1-y-x)\le\frac{1}{3}
xy+y-y^{2}-xy+x-xy-x^{2}-\frac{1}{3} \le 0 / \cdot (-3)
3xy+3x^{2}-3x+3y^{2}-3y+1 \ge 0
Czy ja idę w dobrym kierunku? Niestety "jedynek" za mało by stworzyć wzory skróconego mnożenia.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2016, o 21:31 
Użytkownik

Posty: 754
Lokalizacja: Warszawa
Może tak (a+b+c)^2  \ge 3(ab+bc+ca) > 3(a+b+c) stąd mamy (a+b+c)^2 > 3(a+b+c). I ostatecznie a+b+c > 3... :P
Co do pierwszego zadania
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2016, o 21:35 
Użytkownik

Posty: 10764
Lokalizacja: Wrocław
Dodam tylko dla jasności, że podstawiam t=x+y+z do nierówności
(x+y+z)^{2}>3(x+y+z), bo mogłem narobić zbyt dużo bałaganu.

Co do nowej nierówności: czy też jest dla dodatnich?
Skoro x+y+z=1, to (x+y+z)^{2}=1 i wystarczy zastosować nierówność xy+yz+zx \le  \frac{(x+y+z)^{2}}{3}. Zwija się ona (mnożenie stronami i odejmowanie) do
0 \le  \frac{(x-y)^{2}+(z-x)^{2}+(y-z)^{2}}{2}

-- 7 lut 2016, o 21:36 --

Wygląda na to, że nie musi być dla dodatnich, co zresztą powinno być dla mnie oczywiste, ale nie było, bo tłumok ze mnie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2016, o 21:41 
Użytkownik

Posty: 754
Lokalizacja: Warszawa
A drugie się sprowadza do(korzystamy z tezy) 3(xy+yz+xz)  \le 1 = (x+y+z)^2   \Leftrightarrow   3(xz+yz+zx)  \le x^2+y^2+z^2 + 2(xy+yz+zx)  \Leftrightarrow xy+yz+xz \le z^2+y^2+x^2.
Ostanie możesz sobie zawinąć za pomocą wzorów skróconego mnożenia albo moją wielbioną nierównością jaką jest :
\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2} \ge  \sum_{i=1}^{n}a_{i}a_{i+1} gdzie u nas n=3  \wedge a_{1}=a_{4} :D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2016, o 21:44 
Użytkownik

Posty: 27
Lokalizacja: Białystok
Premislav, mogę wiedzieć skąd wziąłeś to?
(x-y)^{2}+(x-z)^{2}+(y-z)^{2} \ge 0
I potem jak wyszedłeś na to: 3(x^{2}+y^{2}+z^{2}) \ge (x+y+z)^{2}
Skoro mi wychodzi: (x+y+z)^{2}>2x+2y+2z+x^{2}+y^{2}+z^{2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2016, o 21:46 
Użytkownik

Posty: 7346
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
To wynika z tego, że kwadraty są nieujemne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2016, o 21:49 
Użytkownik

Posty: 10764
Lokalizacja: Wrocław
(x-y)^{2}+(x-z)^{2}+(y-z)^{2} \ge 0 wyciągnąłem z pu... gilaresu. Po prostu zauważyłem, że taka nierówność się może przydać, a wynika ona z tego, że kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny.
By od tego przejść do 3(x^{2}+y^{2}+z^{2}) \ge (x+y+z)^{2}, dodałem stronami
x^{2}+y^{2}+z^{2}, a następnie przerzuciłem na prawo ze zmianą znaku -2(xy+xz+yz) (to się pojawiło z rozwinięcia tych kwadratów różnic w (x-y)^{2}+(x-z)^{2}+(y-z)^{2} ze wzoru skróconego mnożenia).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 30 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 udowodnij ze ulamek jest skracalny przez 24  kubastan  3
 Udowodnij nierówność - zadanie 21  qwass  3
 Udowodnij ze jezeli a,b,c eN zachodzi ... [1]  kolanko  1
 Udowodnij nierówność - zadanie 16  Marta01*  3
 Udowodnij nierówność - zadanie 5  Lee  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl