szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lut 2016, o 19:19 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: pl
Czesc,
na konkursie(1 liceum) spotkałem sie z takim o to zadaniem:
Liczbę 22 mozna przedstawić na wiele sposób jako sumę liczb naturalnych całkowitych. Dla każdej sumy obliczamy iloczyn jej skladnikow
22=7+1+2+12 co daje 7x1x2x12=168
Przedstaw liczbę 22 za pomocą takich skladnikow, ktorych iloczyn bedzie największy.
Czy ktos mógłby mnie nakierować na rozwiazanie? Robiłem to metoda podstawiania, czyli próbowałem cyfr jak leci i najwyższy wynik jaki mi wyszedł to 2916.
22=3x3x3x3x3x3x4=2916
Prosze o pomoc:>
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lut 2016, o 19:22 
Użytkownik

Posty: 7358
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Znasz średnie? I nierówności między nimi?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lut 2016, o 19:26 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: pl
Nie, ale jestem ciekawy po prostu rozwiązania. Czyli rozumiem, ze rozwiazanie tylko za pomocą średnich?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lut 2016, o 19:32 
Użytkownik

Posty: 7358
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Ja osobiście takie znam. Jest nierówność między średnią geometryczną i arytmetyczną. Że pierwsza jest nie większa od drugiej (poczytaj o tym, bo nie raz Ci tyłek uratuje). Są równością gdy wszystkie komponenty do średniej są sobie równe czyli twoja liczba została podzielona na równe części.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lut 2016, o 01:04 
Gość Specjalny

Posty: 3032
Lokalizacja: Gołąb
Kartezjusz, no nawet z tymi średnimi wygląda, że to średnio wychodzi. Mi nie wychodzi wcale :) Mógłbyś pokazać rozwiązanie? :D Problemem jest, nie wiem czy zauważyłeś, że tu jest podział na liczby całkowite i średnie absolutnie nic nie powiedzą.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lut 2016, o 01:13 
Użytkownik

Posty: 7358
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
22=x_1+x_2...+x_ndzielę przez n
\frac{22}{n}= \frac{x_1+x_2...+x_n}{n}   \ge [tex] \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot  .... \cdot x_n} [/tex]
Iloczyn jest największy, gdy ta nierówność staje się równością (iloczyn spierwiastkowany jest największy) , a tak się dzieje gdy wszystkie czynniki są równe. Teraz wiedząc to sam poradzisz sobie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lut 2016, o 01:24 
Gość Specjalny

Posty: 3032
Lokalizacja: Gołąb
Wyedytowałem post. Nic nie udowodniłeś, bo podział ma być na składniki które są liczbami całkowitymi!
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lut 2016, o 01:28 
Użytkownik

Posty: 7358
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
To co powiedziałeś sprawia, że n=2,11,22,1 dlan=11czynniki wynoszą po dwa. Iloczyn[tex]2^{11} /tex]
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lut 2016, o 01:41 
Gość Specjalny

Posty: 3032
Lokalizacja: Gołąb
Niestety. Zauważ, że 2^{11}=2048<2916 czyli rozkład podany w pierwszym poście jest lepszy niż Twój :)

Proponuję uogólnienie problemu:
Dla liczby naturalnej n znaleźć taki podział na k składników a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k} będących liczbami całkowitymi dla których iloczyn a_{1}a_{2}\dots a_{k} jest największy możliwy.

Zadanie nie jest takie trywialne. Póki co można w dość przystępny sposób udowodnić, że dla ustalonego k maksimum jest realizowane przez układ:
a_{1}=a_{2}=\dots=a_{k-r} =\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor \\
a_{k-r+1} = \dots = a_{k} = \left \lceil \frac{n}{k} \right \rceil
gdzie r = n \ mod \ k
Pozostaje znaleźć optymalne k za co się za chwilę wezmę

Edit:
Próby rozwiązania zadania w ogólności doprowadziły mnie do fiaska, ale napisałem prosty program znajdujący szukane k i maksimum. I dla n=22, czyli dla naszego problemu odpowiedzią (maksymalną wartością podziału) jest istotnie 2916.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 lut 2016, o 15:43 
Użytkownik

Posty: 1307
Problem ma rozwiązanie - można poszukać po Integer partitions with maximum product.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Konkurs Matematyczny MERIDIAN - zadanie 2  MUNIekk  0
 Konkurs PW kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa  Krzychu12321  0
 Zadania na konkurs matematyczny dla gimnazjum  Adrian2321  2
 Konkurs "Kwadratura Koła"  matbab68  115
 VI edycja Ogólnopolskiej Olimpiady "O Diamentowy Indeks AGH"  Mruczek  108
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl