szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lut 2016, o 21:00 
Użytkownik

Posty: 10
Lokalizacja: Warszawa
Witam. Mam do rozwiązania równanie rekurencyjne postaci a_{n+1} + 2a_{n} -8a_{n-1} = n2^{n}. Zrobiłem z tego równanie w postaci t^{2} + 2t - 8 = 0 i pierwiastki tego równania to x_{1} = -4, x_{2} = 2. Teraz podstawiając P _{n} = n*(a+bn)*2 ^{n} otrzymuję: (n+1)(a+b(n+1))*2 ^{n+1} + 2n(a+bn)*2 ^{n} - 8*(n-1)(a+b(n-1))*2 ^{n-1} = n2 ^{n} po przekształceniu i podzieleniu przez 2 ^{n} oraz pomnożeniu razy 2, aby nie było ułamka otrzymuję a= \frac{1}{36} i b= \frac{1}{12}. zrobiłem to na podstawie wykładu, który był w języku angielskim i być moze nie wszystko zrozumiałem i teraz pytanie jak to dokończyć? Czy prawidłowo jest a _{n} = C _{1} *\frac{1}{36}*(-4) ^{n} + C _{2} * \frac{1}{12} *2 ^{n} + n(n-1)*2 ^{n}. Z tego obliczam C _{1} i C  _{2}, a następnie dostaję rozwiązanie równania? Proszę o wyrozumiałość za błędy i poprawienie ich, ewentualnie o inny sposób liczenia tego, bo ten z wykładów to dla mnie czarna magia...

-- 8 lut 2016, o 21:03 --

zapomniałem dodać warunków początkowych a _{0}=0 , a _{1} = 1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lut 2016, o 22:08 
Użytkownik

Posty: 7361
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Analogia do równań różniczkowych. Ogólne jednorodnego i szczegółowe niejednorodnego z obliczonymi a,b
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lut 2016, o 22:33 
Użytkownik

Posty: 10
Lokalizacja: Warszawa
Moje pytanie jest, czy w dobrym miejscu podstawiłem a i b? Wiem dalej jak wyliczyć C _{1}  i  C _{2}, ale nie do końca ogarniam podstawienie a i b.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lut 2016, o 22:45 
Użytkownik

Posty: 7361
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Nie. Popatrz na postać rozwiązania szczegółowego.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lut 2016, o 22:57 
Użytkownik

Posty: 10
Lokalizacja: Warszawa
Ok. Chyba mam to. Wynikiem będzie: a _{n} = C _{1} * (-4) ^{n} + C _{2} * 2 ^{n} + n*( \frac{1}{36} +  \frac{1}{12} *n) *2 ^{n}. Tylko teraz wychodzą mi dziwne rzeczy i wydaje mi się, że zrobiłem błąd przy liczeniu a i b, ponieważ jeśli obliczyłem to dobrze to wychodzi z tego dziwny wynik: a _{n} = - \frac{7}{54} * (-4) ^{n} +  \frac{7}{54} * (2) ^{n} + ( \frac{1}{12}n ^{2} +  \frac{1}{36}n ) * 2 ^{n}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lut 2016, o 01:30 
Użytkownik

Posty: 7361
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Uwzględniłeś - 8 przy wyliczaniu a, b?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lut 2016, o 01:34 
Użytkownik

Posty: 10
Lokalizacja: Warszawa
Tak. Po prostu przeoczyłem, że nie wstawiłem tej 8 do równania.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lut 2016, o 01:37 
Użytkownik

Posty: 7361
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Ale liczyłeś z nią?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lut 2016, o 01:39 
Użytkownik

Posty: 10
Lokalizacja: Warszawa
Mam jeszcze pytanie, czy gdybym miał równanie t ^{3} - 5 t ^{2} + 8 t - 4, to czy wyliczam tak samo a + bn, czy jest jakiś inny wzór na to, bo nie mogę nigdzie znaleźć tego, a z tego wzoru wychodzi mi sprzeczność?

-- 9 lut 2016, o 00:40 --

tak policzone jest na pewno z 8.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lut 2016, o 01:41 
Użytkownik

Posty: 7361
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Tak samo. Liczę też na uzmiennianie stałej w wersji różnicowej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lut 2016, o 01:54 
Użytkownik

Posty: 10
Lokalizacja: Warszawa
Ok. Będę o tym myślał jeszcze jutro. temat nie jest raczej bardzo skomplikowanie trudny, ale niestety, przez to, że wykład jest w 90% po angielski, a cała grupa oprócz mnie i jeszcze jednej osoby nie ogarniała pochodnych, mieliśmy podany 1 sposób, który był omówiony po łebkach, a teraz do rozwiązania 10 kosmicznych zadań :) Dzięki wielkie za pomoc w temacie!

-- 9 lut 2016, o 14:47 --

Mam jeszcze pytanie. Na zajęciach na szybko zostało zrobione zadanie, ale bez większego wytłumaczenia. Oto ono:
Rozwiąż równanie rekurencyjne:
a _{n+2} + 4a _{n-1} = 4 , a _{0} = 1, a _{1} = 1.
C(t) = t ^{3} + 4
Stąd wiem, że 1 z pierwiastków tego równania to \sqrt[3]{4}
Przez dzielenie wielomianów otrzymuję:
t ^{3} + 4 = (t +  \sqrt[3]{4} )*(t ^{2} - t \sqrt[3]{4} +  \sqrt[3]{16} )
t ^{2} - t \sqrt[3]{4} +  \sqrt[3]{16}

delta (d) = i(432) ^{ \frac{1}{6} }
 \sqrt{d} = g*i,
bo g podstawiamy za (432) ^{ \frac{1}{6} }
t _{2} =  \frac{ \sqrt[3]{4} - g*i }{2}   

t _{3} =  \frac{ \sqrt[3]{4} + g*i }{2}   

t _{1} = \sqrt[3]{4}
teraz mamy \left| t _{1} \right| = \left| t _{2} \right| =  \sqrt{( \frac{ \sqrt[3]{4} }{2} ) ^{2} + ( \frac{g}{2} ) ^{2} } z czego otrzymujemy \frac{1}{2}  \sqrt{16 ^{ \frac{1}{3} } + 432 ^{ \frac{1}{3} }} = m

t _{2} = m( \frac{ \sqrt[3]{4} }{2m} - i *  \frac{g}{2m})

t _{3} = m( \frac{ \sqrt[3]{4} }{2m} + i *  \frac{g}{2m})

cos \alpha =  \frac{ \sqrt[3]{4} }{2m}  \Rightarrow  \alpha = arccos ( \frac{ \sqrt[3]{4} }{2m})
Z tego otrzymaliśmy rozwiązanie:
a _{n} = C* ( \sqrt[3]{4} ) ^{n} - Dm ^{n}  * cos n \alpha + Em ^{n} * sin n  \alpha  + 0,8,
gdziie C,D,E to dowolne stałe.

To był jedyny przykład zrobiony na zajęciach, drugi, był w materiałach z wykładów, na podstawie, którego zrobiłem powyższe zadanie, więc teraz pewnie wiesz, dlaczego mam z tym lekki problem. Gdybyś był w stanie wytłumaczyć mi dlaczego tak jest a nie inaczej w tym przykładzie, to byłbym wdzięczny. P.S. starałem się robić przez to uzmiennianie stałej, ale to też mi nie do końca wychodzi. Z pochodnymi jakoś łatwiej było :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 równanie rekurencyjne - zadanie 2  matteuszek  4
 Równanie rekurencyjne - zadanie 3  skony  1
 Równanie rekurencyjne - zadanie 4  King James  15
 Równanie rekurencyjne - zadanie 6  pokoj  1
 rownanie rekurencyjne  coldrain  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl