szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2016, o 03:56 
Użytkownik

Posty: 738
Lokalizacja: Warszawa
Wykaż że dla dodatnich x,y,z zachodzi :
\frac{(x+y+z) \sqrt{zyx}}{(x+z-y)\sqrt{xy} + (y+x-z)\sqrt{yz} + (z+y-x)\sqrt{zx}} > 1

Myślę , cieszyłbym się jakby udało się znaleźć rozwiązanie bez pomocy jensena :P

-- 10 lut 2016, o 02:57 --

Mile widziane się i częściowe rozwiązania jak i ogólne pomysły na idee rozwiązania.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2016, o 05:03 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9876
Lokalizacja: Wrocław
Jeśli nierówność jest prawdziwa, to powinna być nieostra, bo rozważ, co się stanie, gdy x=y=z=1. Ponieważ mianownik jest dużo bardziej skomplikowany niż licznik, to ja bym osobiście to odwrócił, zapisując równoważną wyjściowej nierówność
\frac{(x+z-y)\sqrt{xy} + (y+x-z)\sqrt{yz} + (z+y-x)\sqrt{zx}}{(x+y+z)\sqrt{xyz}}             \le 1(zmieniłem na nieostrą, gdyż ostra nie działa, kontrprzykład jak wyżej).

I teraz jak się to trochę uprości, to dojdziemy do jakiejś takiej postaci:
\frac{1}{ \sqrt{x} }+ \frac{1}{ \sqrt{y} } + \frac{1}{ \sqrt{z} } \le 1+ \frac{1}{x+y+z}\left(  \frac{2y}{ \sqrt{z} }+ \frac{2z}{\sqrt{x}}+ \frac{2x}{ \sqrt{y} }   \right)
Wygląda odrobinę znośniej, niż w przypadku wymnożenia wszystkiego na pałę (tak mi się przynajmniej zdaje, bo najpierw tak wymnożyłem).



Dobra, jej no, jak ta Rana Lej nie umie śpiewać, jednak odpowiedni marketing to doprawdy potęga.

-- 10 lut 2016, o 04:06 --

Ech, no i nie mam dalej pomysłu, prawa strona bardzo pachnie Jensenem albo średnimi ważonymi (czyli w sumie też Jensenem dla logarytmu), ale lewa do tego nie pasuje. :| Nie trzeba było pisać.

-- 10 lut 2016, o 04:39 --

Niebiosa rosę ślijcie nam z góry! Z tej postaci łatwo widać, że gdy weźmiemy x=y=z, to mamy
kontrprzykład, o ile tylko x \le 1. Czyli nie będę się tym gryźć. Wierzę w Twoje zdolności, ale nie wymyślaj może nierówności przed osiągnięciem pewnej biegłości. Kiedyś przez pół wakacji wymyślałem całki, sumy i nierówności, które okazywały się odpowiednio nieelementarne, niemożliwe do wyliczenia bez metod numerycznych, nieprawdziwe. Zamiast korzystać z pięknej pogody... Pewnie masz lepszą intuicję, ale warto trochę się otrzaskać z zadankami (nie mówię tu o klepaniu schematów z delty czy pochodnych funkcji wielomianowych) przed tworzeniem własnych , jest już (w necie, choćby na tej stronie w dziale Kółko matematyczne czy na Art of Problem Solving, a także w rozmaitych zbiorach zadań) dużo godnych uwagi zadanek. Choć zrobisz oczywiście tak, jak zechcesz. Bron Boże nie chcę Cię zniechęcać.

-- 10 lut 2016, o 05:55 --

No cóż. To ja się zajmę myciem naczyń.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 lut 2016, o 07:47 
Użytkownik

Posty: 1231
@Milczek - jeżeli próbowałeś przekształcić nierówność \frac{a}{\sqrt{a+b}}+\frac{b}{\sqrt{b+c}}+\frac{c}{\sqrt{a+c}}<\sqrt{2(a+b+c)}, którą zaproponował Wiesiek7 w dziale Analiza, przez podstawienie x=a+b,\ y=a+c,\ z=b+c, to w liczniku suma też powinna być pod pierwiastkiem. Niestety, x+y+z>\sqrt{x+y+z} nie zawsze jest prawdziwe...

W wątku Wieśka masz mój dowód bez Jensena.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2016, o 12:43 
Użytkownik

Posty: 738
Lokalizacja: Warszawa
Premislav, Kurde , źle przepisałem. Wybacz za stracony(mało rozwijający z powodu beznadziejnego zadania) czas. Następne takie próby wrzucenia dziwnych tworów podejmę po osiągnięciu jakiegoś poziomu o czym wspomniałeś. Czyli za X lat , tymczasem będę się opierał na sprawdzonych źródłach! :)

bosa_Nike, Dobra, zdemaskowałeś mnie. Teraz to czuję się trochę nieswojo . Próbowałem tą nierówność wykazać bez jensena . Ale za cienki się okazałem i pod ukrytą maską wrzuciłem tamtą nierówność w tej(błędnej) postaci.

Dzięki raz jeszcze, będę unikał zakładania takich tematów.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Nierownosc Czebyszewa - kiedy rownosc?  Linka  1
 Nierówność - zadanie 9  koala  5
 Nierówność - zadanie 11  Keira  3
 udowodnij nierówność - zadanie 2  Pshczoolka  1
 Czy zachodzi nierówność ?  alexandra  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl