szukanie zaawansowane
 [ Posty: 21 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2016, o 16:46 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: Gdynia
Cześć.
Mam problem z kilkoma zadaniami.

1.
Wykaż, że jeśli n i 2n mają takie same sumy cyfr, to liczba n jest podzielna przez 9.

2.
a)
Udowodnij, że różnica dwóch liczb o tych samych cyfrach jest liczbą podzielną przez 9.
b)
Udowodnij, że różnica dwóch liczb o jednakowych sumach cyfr dzieli się przez 9.

3.
Wykaż, że 7 dzieli (2222^{5555}+5555^{2222}).

4.
Dana jest liczbą a=4444^{4444}. Oznaczmy przez A sumę cyfr liczby a, przez B sumę cyfr liczby A, przez C sumę cyfr liczby B. Znajdź liczbę C.

5.
Przedstaw na wszystkie sposoby liczbę 132 w postaci sumy kolejnych liczb całkowitych dodatnich.

Poproszę o wskazówki albo rozwiązania dla tych zadań.

Z góry dziękuję za pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2016, o 17:23 
Administrator

Posty: 21168
Lokalizacja: Wrocław
Dla mnie sformułowanie zadań 1., 2. i 4. jest niezrozumiałe.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2016, o 17:30 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10550
Lokalizacja: Wrocław
Cześć.
1. nie rozumiem treści. Może chodziło o n i 2n? W obecnym kształcie treści rozważ n=11. :(
Jeśli moje przypuszczenia są słuszne, to wystarczy skorzystać z lematu z szóstej klasy podstawówki: oznaczmy sumę cyfr liczby n przez S(n); wtedy n\equiv S(n)\pmod{9}
2. Jedziesz z tej samej własności, co wyżej.
3. Małe twierdzenie Fermata. Dla ułatwienia rachunków: 2222=2100+119+3=7k+3 i wzór dwumianowy Newtona. Podobnież 5555=4900+651+4=7l+4 i wzór dwumianowy Newtona. Zadanie sprowadza się do spr. reszty z dzielenia przez siedem sumy 3^{5555}+4^{2222} ->MTF dla każdego składnika z osobna.

-- 10 lut 2016, o 17:33 --

Ad. 2 No właśnie, zaraz, spojrzałem na punkt b) i podzielam wątpliwości Pana
Kraszewskiego
, pytam: czym różni się liczba o tych samych cyfrach od liczby o jednakowych cyfrach???
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2016, o 17:40 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: Gdynia
Przepraszam, tak chodziło o 2n w zadaniu pierwszym.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 lut 2016, o 17:46 
Użytkownik

Posty: 1890
Lokalizacja: Warszawa
Premislav, mikoarm ma 13 lat. To jest co najwyżej pierwsza liceum...jeśli nie 6 podstawówki.
Ty miałeś w tych klasach n\equiv S(n)\pmod{9} i małe twierdzenie Fermata?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2016, o 17:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10550
Lokalizacja: Wrocław
To pierwsze miałem dokładnie w szóstej klasie (a chodziłem do zupełnie zwykłej szkoły i nauczycielka też była przeciętna), tylko bez tego zapisu: suma cyfr liczby naturalnej daje taką samą resztę z dzielenia przez 9, jak ta liczba. Poza tym wiek na forum jest często wpisywany przypadkowo/na odwal, więc szczerze powiedziawszy, od dłuższego czasu odpowiadając w tematach w ogóle nie patrzę na to pole. I na pewno nie będę patrzyć, co najwyżej jeśli twórca wątku napisze, że czegoś nie wie, to albo odeślę do źródeł, albo przedstawię inną metodę.

No to trzecie bez małego twierdzenia Fermata:
pokazałem, jak ze wzoru dwumianowego sprowadzić problem do obliczenia reszty z dzielenia przez siedem liczby 3^{5555}+4^{2222}. To teraz można zauważyć, że 3^{6}=729, co daje resztę 1 z dzielenia przez 7, a mamy 3^{5555}=3^{6\cdot 925 +5}. I podobnie z czwórką, 4^{3} daje resztę 1 z dzielenia przez 7.

-- 10 lut 2016, o 17:57 --

Aha, niektórzy ludzie w pierwszej liceum wiedzą więcej z matematyki, niż ja kiedykolwiek będę wiedział, więc też takie patrzenie na umiejętności przez pryzmat wieku nie zawsze okazuje się słusznym.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2016, o 18:19 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: Gdynia
Wiem, że reszta z dzielenia przez 9 danej liczby jest taka sama jak z jej sumy cyfr, ale nie rozumiem, jak można to wykorzystać w tych zadaniach.

Czy chodzi o to, że różnica takich samych sum cyfr jest równa 0 i przez to, że 0 dzieli się przez 9 to liczba też jest podzielna przez 9?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2016, o 18:23 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10550
Lokalizacja: Wrocław
mikoarm napisał(a):
Czy chodzi o to, że różnica takich samych sum cyfr jest równa 0 i przez to, że 0 dzieli się przez 9 to liczba też jest podzielna przez 9?

Tak.

4. Mógłbyś wyjaśnić, co ma oznaczać ta treść, mikoarm? Czy przepisałeś polecenie słowo w słowo? Bo jeśli tak, to niestety wyszło coś a la czym się różni wróbelek.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2016, o 18:27 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: Gdynia
Zamiast pierwszego A powinno być a. Poprawione. Czy teraz już wiadomo o co chodzi?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2016, o 18:40 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10550
Lokalizacja: Wrocław
Tak, teraz wiadomo. Bardzo ładne zadanie, tylko że chwilowo nie mam pomysłu, jak je rozwiązać.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2016, o 18:52 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: Gdynia
Co do zadania numer 3, to rozumiem, że 3^{5555} + 4^{2222} ma taką samą resztę co
2222^{5555} + 5555^{2222} z dzielenia przez 7, ale dalej niestety nie. Co z tego, że 3^{6} i 4^{3} mają reszty równe 1?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2016, o 19:00 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10550
Lokalizacja: Wrocław
Możemy zapisać 3^{5555}=3^{6\cdot 925+5}=3^{5}\cdot( 3^{6})^{925}. Skorzystałem tu z własności (a^{b})^{c}=a^{bc} i a^{b+c}=a^{b}\cdot a^{c} Skoro 3^{6} daje resztę 1 z dzielenia przez 7, to (3^{6})^{925} daje resztę 1\cdot1...\cdot 1=1(dziewięćset dwadzieścia pięć jedynek) z dzielenia przez 7.
No i wystarczy, że policzymy resztę 3^{5} z dzielenia przez 7- to już można na piechotę, np. pod kreską. Korzystam tu z ważnej własności, że dla a,b,c całkowitych dodatnich reszta z dzielenia iloczynu a\cdot b przez c jest taka sama, jak iloczyn reszty z dzielenia a przez c i reszty z dzielenia b przez c.
Podobnie 4^{2222}=4^{3\cdot 740} \cdot 4^{2} i postępujemy tak samo.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2016, o 19:12 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: Gdynia
Chodzi o to, że reszta z dzielenia przez 7 (1 \cdot  4^{2}) równa się 2, a (1 \cdot  3^{5}) równa się 5 i 5+2=7, z czego wynika, że liczba wejściowa jest podzielna przez 7?
Dobrze mówię?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2016, o 19:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10550
Lokalizacja: Wrocław
Tak, dokładnie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2016, o 19:20 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: Gdynia
Dzięki wielkie! :)
Czy wyjaśnisz jescze jak znaleźć wszystkie sposoby na przedstawienie danej liczby w postaci sumy kolejnych liczb (zad.5) ?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 21 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zadania dotyczące podzielności  wyderka22  4
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 (4 zadania) Sprawdz podzielność wyrażenia  Anonymous  3
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 (3 zadania) Udowodnić podzielność przez 9. Wykazać, że  basia  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl