szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 lut 2016, o 23:30 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 22
Lokalizacja: Wrocław
Nie jestem pewna, a jutro egzamin..
Treść zadania brzmi:

Sprawdź, że prosta
l:  \begin{cases} x = -3t \\ y = 1 + t \\ z = -1 + t \end{cases}
leży na płaszczyźnie \pi :x-2y+5z+7=0. Znaleźć równanie parametryczne prostej leżącej na płaszczyźnie \pi i prostopadłej do prostej l w punkcie (0,1,-1).

Zrobiłam tak:

podstawiłam x,y,z z prostej l do równania płaszczyzny,
czyli wyszło -3t-2-t-5+t=0 czyli wyszło mi że dla t=7 prosta i płaszczyzna mają punkt wspólny (nie wiem czy w ten sposób w ogole można to zrobić)
dalej przemnożyłam wektorowo wektor normalny płaszczyzny [1,-2,5] z wektorem prostej l [-3,1,1] co powinno dać wektor prostopadły do tych dwóch i wyszedł [-7,-16,-5]
i na końcu podstawiłam ten punkt (0,1,-1) i ten otrzymany wektor do wzoru prostej parametrycznej.

Wszyło mi tak:

\begin{cases} x=-7t \\ y=1-16t \\ z=-1-5t \end{cases}

Bardzo proszę o weryfikację i pomoc bo pewnie zrobiłam źle :?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2016, o 23:35 
Użytkownik

Posty: 7361
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Wstawiasz całe wyrażenia w nawiasie.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 lut 2016, o 00:09 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 22
Lokalizacja: Wrocław
Kartezjusz, Nie rozumiem, co masz na myśli?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lut 2016, o 00:20 
Użytkownik

Posty: 7361
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
x=-3t
-2y=-2(1+t)=-2-2ta wstawiłaś jedno.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lut 2016, o 19:11 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: krk
Ładniej było by sprawdzić, czy prosta l jest równoległa do płaszczyzny \pi, a następnie sprawdzić szczególny przypadek, czyli czy prosta leży na płaszczyźnie

l: \begin{cases} x = -3t \\ y = 1 + t \\ z = -1 + t \end{cases}, t \in \RR

\pi: \ x-2y+5z+7=0.

(?) \ l \parallel  \pi

l \ni \vec{v_{1} }=[-3,1,1]
\pi \perp \vec{n_{1}}=[1,-2,5]

\vec{v_{1} } \circ \ \vec{n_{1}} =-3-2+5=0  \Rightarrow \vec{v_{1} } \perp \ \vec{n_{1}}  \Rightarrow l \parallel \ \pi

Skoro tak, to wystarczy jeszcze sprawdzić, szczególny przypadek, czyli czy prosta leży na płaszczyźnie. Aby to zrobić podstawiamy punkt A z równania parametrycznego prostej l do równania płaszczyzny \pi

l \ni A(0,1,-1)
\pi : x-2y+5z+7=0

1(0)-2(1)+5(-1)+7=0  \Rightarrow 0=0
Czyli prosta leży na płaszczyźnie.

Aby znaleźć prostą leżącą na płaszczyźnie \pi oraz prostopadłą do prostej l w punkcie P(0,1,-1), trzeba tak jak już zauważyłaś, policzyć iloczyn wektorowy wektora normalnego płaszczyzny \vec{n} oraz wektora kierunkowego prostej \vec{v_{1} } , a następnie jak zawsze, czyli po prostu utworzyć równanie parametryczne prostej k z powstałego wektora \vec{v_{2}} oraz podstawiając punkt P

\vec{v_{1} }=[-3,1,1]
\vec{n_{1}}=[1,-2,5]

\vec{v_{1} }  \times  \ \vec{n_{1}} = [-7,-16,-5] =  \vec{v_{2} }

\vec{v_{2} } \in k

\begin{cases} \vec{v_{2} } \parallel \vec{v_{1}} \\ \vec{v_{2} } \parallel \vec{n_{1}} \end{cases}  \Rightarrow \begin{cases} k \parallel l \\ k \perp \pi \end{cases}

k, l, \pi \ni P(0,1,-1)

k: \begin{cases} x=0-7s \\ y=1-16s \\ z=-1-5s \end{cases}, s  \in \RR
Warto pamiętać o zmianie oznaczenia zmiennej w postaci parametrycznej, oraz że należy ona do \RR.
Chyba tak powinno być, ale gwarancji nie daję, czyli ktoś to musi potwierdzić :P (dopiero się uczę xD)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równania prostej - zadanie 2  martyna640  1
 Równanie prostej i równanie okręgu - dwa zadania  Kermit.p  1
 Równanie prostej równoległej - zadanie 4  takashi17  1
 Napisz równanie prostej k - zadanie 2  dawidk888  3
 wyznaczyć cosinusy kierunkowe prostej  przymek1990  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl