szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lut 2016, o 09:54 
Użytkownik

Posty: 73
Wykaż, że wartość wyrażenia A= \left|  \frac{x-y}{x+y}+ \frac{y-z}{y+z}+ \frac{z-x}{z+x}\right| jest mniejsza od \frac{1}{8} dla x, y i z będącymi długościami boków trójkąta. Zadanie pochodzi z konkursu im. prof. Jana Marszała z 2014 roku. Więcej tutaj http://1lojaslo.pl/pliki/konkursy/Lancut2014final.pdf
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 lut 2016, o 16:12 
Użytkownik

Posty: 1225
Z nierówności trójkąta mamy: x+y>z\implies x>z-y oraz x+z>y\implies x>y-z, więc x>|y-z|. Analogicznie dla innych zmiennych. Ponadto z własności wartości bezwzględnej i AM-GM:

\left| \frac{x-y}{x+y}+ \frac{y-z}{y+z}+ \frac{z-x}{z+x}\right|=\left|\frac{(x-y)(x-z)(y-z)}{(x+y)(y+z)(x+z)}\right|=\frac{|(x-y)(x-z)(y-z)|}{(x+y)(y+z)(x+z)}=\\ \\ \frac{|x-y|\cdot |x-z|\cdot |y-z|}{(x+y)(y+z)(x+z)}<\frac{xyz}{2\sqrt{xy}\cdot 2\sqrt{yz}\cdot 2\sqrt{xz}}=\frac{1}{8}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lut 2016, o 17:56 
Użytkownik

Posty: 7339
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Jak suma stała się iloczynem
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lut 2016, o 18:21 
Moderator

Posty: 1869
Lokalizacja: Trzebiatów
\left( x-y\right)\left(  y+z\right)\left(  x+z\right)  + \left( y-z\right)\left(  x+y\right)\left(  x+z\right) +\left( z-x\right)\left(  x+y\right)\left(  y+z\right)  = \left( x-y\right)\left(  y-z\right) \left( x-z\right)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 lut 2016, o 18:47 
Użytkownik

Posty: 1225
Tutaj nie ma to znaczenia, ale ściślej - suma tych ułamków jest równa ich iloczynowi wziętemu ze znakiem minus.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lut 2016, o 20:44 
Użytkownik

Posty: 135
Lokalizacja: Polska
Coś mi tutaj nie pasuje , przy tych założeniach to mówimy o dwóch różnych trójkątach :
bosa_Nike napisał(a):
Z nierówności trójkąta mamy: x+y>z\implies x>z-y oraz x+z>y\implies x>y-z

po to w zadaniu podane jest że są to długości trójkąta aby liczący wiedział że zachodzi między nimi pewna zależność długości.
pozdrawiam :).
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 lut 2016, o 21:24 
Użytkownik

Posty: 1225
To interesujące. Może rozwiniesz?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lut 2016, o 15:37 
Użytkownik

Posty: 135
Lokalizacja: Polska
niestety nie znam odpowiedzi , ale tak podejrzewam że trzeba dodać tu trzecie równanie wynikłe z własności trójkątów,
pzdr.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 17 lut 2016, o 20:43 
Użytkownik

Posty: 1225
Dobra, powiedzmy, że nie widzę wcześniejszego posta, a ostatni biorę za dobrą monetę.
bosa_Nike napisał(a):
Analogicznie dla innych zmiennych.
:roll:

A wracając do tematu, okazuje się, że to oszacowanie ma dużo luzu. W literaturze można napotkać takie zadanie:

Znaleźć największą liczbę naturalną n, taką że dla dowolnych x,y,z będących długościami boków niezdegenerowanego trójkąta prawdziwa jest nierówność \left| \frac{x-y}{x+y}+ \frac{y-z}{y+z}+ \frac{z-x}{z+x}\right|<\frac{1}{n}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 mar 2016, o 16:15 
Użytkownik

Posty: 135
Lokalizacja: Polska
A= \left|  \frac{x-y}{x+y}+ \frac{y-z}{y+z}+ \frac{z-x}{z+x}\right| <  \frac{1}{8}
Nie wiem, jedyne co widze to pewna prawidłowość w licznikach które to są różnicami boków trójkąta zestawionych w pewnej kolejności czyli boki to a,b,c i różnice a-b, b-c, c-a, jest to dośc istotne bo inna różnica jest np a-b, c-b i a-c itp, podejrzewam że trzeba do tego podpiąc jakąś właściwośc z trójkąta tak, aby dostać jeszcze jedno trzecie wyrażenie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 wartość wyrażenia  g4l4  7
 Oblicz wartość wyrażenia.  emi1993  7
 wartość wyrażenia dla x,y,z  Anonymous  1
 Nierownosc Czebyszewa - kiedy rownosc?  Linka  1
 Obliczyc wartosc wyrazenia  Paweł  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl