szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 lut 2016, o 14:45 
Użytkownik

Posty: 10
Lokalizacja: Podkarpacie
Wykazać że spośród wszystkich trójkątów o obwodzie 2p największe pole ma trójkąt równoboczny.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 11 lut 2016, o 14:52 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10243
Lokalizacja: Wrocław
Niech a,b,c - boki trójkąta. Przeliczmy pole trójkąta o obwodzie 2p ze wzoru Herona:
S= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
Z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną dla trzech składników mamy
((p-a)(p-b)(p-c))^{\frac 1 3} \le  \frac{p-a+p-b+p-c}{3}= \frac{p}{3}, równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy p-a=p-b=p-c. Stąd mamy
S= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \le  \sqrt{p}\left( \frac{p}{3}\right)^{\frac 3 2} i równość gdy p-a=p-b=p-c
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lut 2016, o 15:55 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5518
Można mniej efektownie przez znalezienie maksimum funkcji dwóch zmiennych
S(a,b)= \sqrt{p(p-a)(p-b)(a+b-2p)}
które wystąpi dla a=b= \frac{2p}{3}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Obwód i pole trójkąta.  Piggy  1
 Obwód i pole trójkata.  szefu88  2
 Wyzacz obwód trójkąta prostokątnego  ptashyna  7
 Wykaz ze jezeli liczby sa dlugosciami trojkata to zachodzi .  kolanko  1
 Objętość i pole powiwerzchni.  Revius  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl