szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Podzielność
PostNapisane: 22 sie 2007, o 13:52 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 259
Pewna liczba naturalna w układzie dziesiętnym ma postać x0yz, gdzie x,y,z są cyframi, x>0. Liczba ta podzielona przez pewną liczbę naturalną n daje iloraz, który w układzie dziesiętnym jest postaci xyz. Znaleźć x,y,z i n.

----------------------
Jest to zadanie z dawnych wstępnych egzaminów do Staszica w Warszawie. Proszę o pomoc :neutral:
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Podzielność
PostNapisane: 22 sie 2007, o 14:59 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 6391
Lokalizacja: Warszawa
Przekształcamy:
1000x+10y+z=100nx+10ny+nz \\
100x(10-n)=(10y+z)(n-1)
Stąd widać, że n \in (1;10>.

Gdy n=10 to wtedy musi być 10y+z=0 \Rightarrow y=z=0 i ostatecznie x \in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \ y=0 \ z=0.

Niech n \in .
Lewa strona jest parzysta, więc prawa musi być parzysta, zatem z \in \{0,2,4,6,8\}, \ n \in \{3,5,7,9\}.

Dla n=3 mamy:
700x=2(10y+z) - sprzeczność.

Dla n=5 mamy:
500x=4(10y+z) - sprzeczność.

Dla n=7 mamy:
300x=6(10y+z) \rightarrow 50x=10y+z - zatem musi być z=0, \ y=5, \ x=1.

Dla n=9 mamy:
100x=8(10y+z) \rightarrow 25x=20y+2z - ponieważ z jest parzyste i 2z ma być wielokrotnością 5 to z=0. Zatem 25x=20y \rightarrow 5x=4y, czyli x=4, \ y=5.

Podsumowując szukane rozwiązania to:
- n=10, \ x \in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \ y=0 \ z=0
- n=7, \ z=0, \ y=5, \ x=1
- n=9 \ z=0, \ y=5, \ x=4.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Podzielność
PostNapisane: 22 sie 2007, o 15:53 
Użytkownik

Posty: 119
Lokalizacja: Z nikąd
Znalazłem jeszcze takie rozwiązania, sposób podam później bo się śpieszę, chyba że ktoś mnie wyręczy ;)

x y z n
6 7 5 9
1 8 0 6
2 2 5 9

scyth, zapomniał że nie tylko Parzysta*Parzysta=Parzysta ale również Nieparzysta*Parzysta=Parzysta,
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Podzielność
PostNapisane: 22 sie 2007, o 15:55 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 6391
Lokalizacja: Warszawa
o rety, ale głupotę palnąłem... przynajmniej częsciowo mam rację. Ale chyba jest jakiś prostszy sposób na to zadanie...
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Podzielność
PostNapisane: 23 sie 2007, o 10:28 
Użytkownik

Posty: 119
Lokalizacja: Z nikąd
Ja miałem trochę inne rozwiązanie, ale to było bardziej intuicyjne, podeprze się troch rozw. scytha
Wiemy że n<11.
Dla n=10
\overline{xyz} \cdot 10=\overline{xyz0}, czyli
\overline{xyz0}=\overline{x0yz}, a to jest spełnione dla liczb które napisał scyth.

Teraz wiemy że n jest mniejsze od dziesięciu, czyli jest cyfrą. Musimy zauważyć że n>5, ponieważ jeżeli pomnożymy liczbę 3-cyfrową przez cyfrę i mamy otrzymać liczbę 4-cyfrową, której cyfra tysięcy jest równa cyfrze setek w pierwszej liczbie to n>5.

Tak więc pozostaje nam sprawdzenie jeszcze 4 możliwości dla n=6,7,8,9.

Dla \ n=6 \\ 100x(10-n)=(10y+z)(n-1) \\ 400x=5(10y+z) \\80x=(10y+z)
10y+z<100, a więc spełnione to jest tylko dla x=1 \ y=8 \ z=0

Dla \ n=7 patrz rozw. scytha

Dla \ n=8 \\ 200x=7(10y+z) \\ x=7 \\ 200=(10y+z) \ - \ sprzecznosc

Dla \ n=9 \\ \frac{25}{2}x=10y+z x musi być parzyste sprawdzamy dla x=2,4,6,8 otrzymujemy rozwiązania.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Podzielnosć  Paciek  1
 podzielność - zadanie 11  kazafin  9
 podzielność - zadanie 8  LySy007  2
 Podzielność - zadanie 6  djud.pl  2
 Podzielność - zadanie 13  DemoniX  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl