szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Policz Sumę
PostNapisane: 14 lut 2016, o 01:58 
Użytkownik

Posty: 101
Lokalizacja: Wro
Zastanawiam się czy jest to dobry dział, jeśli źle myślę proszę o przeniesienie.


Policz sumę (chodzi o zamiane na wzór zwarty?)

\sum_{k}^{}  k^{2}  {n \choose k}  3^{2k}

Czy jest jakiś sposób na robienie tego typu zadań? czym się kierować w rozwiązywaniu czegoś takiego?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Policz Sumę
PostNapisane: 14 lut 2016, o 02:23 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12429
Lokalizacja: czasem Warschau, czasem Breslau
\sum_{k=1}^{n} k^{2} {n \choose k} 3^{2k}= \sum_{k=1}^{n}k{n \choose k}9^{k}+ \sum_{k=2}^{n}k(k-1){n \choose k}9^{k}
Ponieważ \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}=(1+x)^{n}, więc \sum_{k=1}^{n}{n \choose k}kx^{k-1}= \frac{d}{dx}(1+x)^{n}=n(1+x)^{n-1} oraz
\sum_{k=2}^{n}{n \choose k}k(k-1)x^{k-2}= \frac{d^{2}}{dx^{2}}(1+x)^{n}=n(n-1)(1+x)^{n-2}, a zatem \sum_{k=1}^{n}k{n \choose k}x^{k}=nx(1+x)^{n-1} i \sum_{k=2}^{n}k(k-1){n \choose k}x^{k}=n(n-1)x^{2}(1+x)^{n-2}, a stąd
\sum_{k=1}^{n}k^{2}{n \choose k}9^{k}=9n\cdot 10^{n-2}(9n+1)
Można to też rozwiązać kombinatorycznie, ale nie przepadam za kombinatoryką, toteż nie będę nad tym myśleć.

-- 14 lut 2016, o 01:27 --

Generalnie to korzystam z tego, że pochodna sumy jest sumą pochodnych.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Policz Sumę
PostNapisane: 14 lut 2016, o 09:38 
Użytkownik

Posty: 101
Lokalizacja: Wro
Dziękuje serdecznie za odpowiedz, jednak nie jest to raczej mój poziom, juz pierwsze rozbicie na 2 sumy nie wiem skad sie bierze :) a do tego pochodne sum... Chyba muszę poczekać na jakies prostsze rozwiązania.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Policz Sumę
PostNapisane: 14 lut 2016, o 10:53 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Pierwsze rozbicie to po prostu równość k^2= k+ k(k-1). A dalej można bez pochodnych, a tylko korzystając z tożsamości k\binom nk = n\binom{n-1}{k-1}.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Policz Sumę
PostNapisane: 14 lut 2016, o 14:54 
Użytkownik

Posty: 101
Lokalizacja: Wro
hmm, ok to może spróbuje ale jestem pełen wątpliwości:

\sum_{k=1}^{n} k^{2} {n \choose k} 3^{2k}= \sum_{k=1}^{n}k{n \choose k}9^{k}+ \sum_{k=1}^{n}k(k-1){n \choose k}9^{k} =\\
\sum_{k=1}^{n}n{n-1 \choose k-1}9^{k}+ \sum_{k=2}^{n}(k-1)n{n-1 \choose k-1}9^{k} = \\
n\sum_{k=1}^{n}{n-1 \choose k-1}9^{k}+ n\sum_{k=2}^{n}(k-1){n-1 \choose k-1}9^{k} = \\
n\sum_{k=0}^{n-1}{n-1 \choose k}9^{k+1}+ n\sum_{k=2}^{n}(n-1){n-2 \choose k-2}9^{k} = \\
9n\sum_{k=0}^{n-1}{n-1 \choose k}9^{k}+ n(n-1)\sum_{k=2}^{n}{n-2 \choose k-2}9^{k} = \\
9n(1+9)^{n-1}+ n(n-1)\sum_{k=0}^{n-2}{n-2 \choose k}9^{k+2} = \\
9n \cdot 10^{n-1}+ 9^{2}n(n-1)\sum_{k=0}^{n-2}{n-2 \choose k}9^{k} = \\
9n \cdot 10^{n-1}+ 9^{2}n(n-1)(1+9)^{n-2}

Czy jest to w jakis sposób dobra droga? ew w którym miejscu robie cos nieprawidłowego?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Policz Sumę
PostNapisane: 14 lut 2016, o 14:59 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12429
Lokalizacja: czasem Warschau, czasem Breslau
Jest OK+to bardziej elegancki sposób. Zresztą wynik wychodzi taki sam, jak mój.
Czego dotyczą Twoje wątpliwości?

-- 14 lut 2016, o 14:10 --

Tylko cyfrówka/literówka w trzeciej linijce od dołu (napisałeś n zamiast n-1), ale dalej z niej nie korzystasz, więc pewnie to efekt roztargnienia.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Policz Sumę
PostNapisane: 14 lut 2016, o 15:26 
Użytkownik

Posty: 101
Lokalizacja: Wro
Skoro jest ok to niczego, po prostu okazalo sie to w sumie łatwiejsze niż sie spodziewałem wiec zacząłem sie zastanawiam czy nie robie gdzies błedu.

Faktycznie, już poprawiam. I dziekuje jeszcze raz
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Policz sumę  foonesh  3
 wzór jawny na sumę wyrazów ciągu  rm0000  4
 przedstawic liczbę jako sumę  21mat  2
 rozkład liczby n na sumę trzech liczb naturalnych  dapio  5
 Dowieść wzór na sumę dwumianów Newtona  patryk007  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl