szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lut 2016, o 10:50 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 194
Lokalizacja: Ziemia
Zapoznałem się już ze sposobem rozwiązywania tego typu zadań, tj.
103:4 = 25 i reszta3. Jak na tej podstawie mam wywnioskować cyfrę jedności?

Liczba to 2^{103}
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 15 lut 2016, o 11:03 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10603
Lokalizacja: Wrocław
2^{103}=(2^{4})^{25}\cdot 2^{3}, a ponieważ 2^{4}\equiv 1\pmod{5}, to 2^{103}\equiv 3\pmod{5}. Dalej wystarczy zauważyć, że liczba 2^{103} jest parzysta.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 lut 2016, o 11:06 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2780
Jeśli chcesz zbadać cyfrę jedności liczby 2^{103} czyli jej ostatnia cyfrę, to musisz policzyć resztę z dzielenia tej liczby przez 10 czyli wiedzieć jak wygląda ona w Z_{10}.

Możesz w tym celu skorzystać z funkcji Eulera i twierdzenia Eulera lub właności kongruencji.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lut 2016, o 11:11 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1453
Wydaje mi się, że @vergil sugerował coś takiego. Kolejne potęgi mają cyfrę jedności:

2,4,8,6,2,4,8,6..... U nas jest 25 pełnych okresów i zostaje jeszcze trzy elementy z ostatniego (niepełnego) okresu. Czyli będzie cyfra jedności jak w trzecim elemencie pierwszego okresu. Pewnie mało to naukowe ale jakiś tam sposób jest.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lut 2016, o 11:48 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 194
Lokalizacja: Ziemia
yyyy....

Zakładając, że dali nam to zadanie na arkusz ćwiczeniowy do matury podstawowej, nie sądze by wymagali znajomości ambitnych twierdzeń. Co skutkuje tym, że nie rozumiem o czym do mnie piszecie :P
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 15 lut 2016, o 12:15 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10603
Lokalizacja: Wrocław
OK, możesz nie rozumieć tego, co napisaliśmy ja i Poszukujaca, ale chyba wskazówka
pesela nie przekracza Twoich możliwości zrozumienia?

Co do mojej wypowiedzi, to 2^{4}\equiv 1\pmod{5} to tylko zapis, to oznacza, że 2^{4} daje resztę 1 z dzielenia przez 5. Ostatnia cyfra liczby w zapisie dziesiętnym to reszta z dzielenia tej liczby przez 10,więc wystarczy zbadać reszty z dzielenia przez 2 i przez 5, bo 10=2\cdot 5 oraz \NWD(2,5)=1. Skoro 2^{103} jest parzysta, to daje resztę 0 z dzielenia przez 2. A skoro 2^{4} daje resztę 1 z dzielenia przez 5, to również (2^{4})^{25}=2^{100} daje resztę 1 z dzielenia przez 5, a wobec tego 2^{103}=2^{100}\cdot 2^{3} daje taka samą resztę z dzielenia przez 5, co 8.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lut 2016, o 12:22 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1453
2^{1}=2 - cyfra jedności 2.

2^{2}=4 - cyfra jedności 4.

2^{3}=8 - cyfra jedności 8.

2^{4}=16 - cyfra jedności 6.

2^{5}=32 - cyfra jedności znowu 2.

2^{6}=64 - cyfra jedności znowu 4, itd...

Można to spróbować uogólnić:

1. Do potęgi 1,5,9,13,17.....(4n+1) będzie cyfra jedności 2.

2. Do potęgi 2,6,10,14,18.....(4n+2) będzie cyfra jedności 4.

3. Do potęgi 3,7,11,15,19.....(4n+3) będzie cyfra jedności 8.

4. Do potęgi 4,8,12,16,20.....(4n+4) będzie cyfra jedności 6.

Gdzie n=0,1,2.....

Ponieważ 103=4 \cdot 25+3 to mamy trzeci przypadek.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 (2 zadania) Suma cyfr liczby trzycyfrowej.  Anonymous  1
 Różnica cyfr pewnej liczby wynosi 5 ... Znajdź tę liczb  Tomasz B  4
 Zmieniamy cyfry dziesiątek i jednosci - co to za liczba ?  Anonymous  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl