szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lut 2016, o 18:10 
Użytkownik

Posty: 261
Lokalizacja: Lub
Mógłby ktoś wytłumaczyć jak udowodnić taką nierówność wykorzystując nierównośc Jensena?

Udowodnić, że jeżeli a_{1}, a_{2}, ..., a_{1000} \in \RR oraz a_{1}+a_{2}+...+a_{1000}=2500, to
a_{1}^2-a_{1}+a_{2}^2-a_{2}+...+a_{1000}^2-a_{1000}  \ge 3750.

Ta nierówność jest w 66om etap3, zad3.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lut 2016, o 18:23 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 9855
Lokalizacja: Wrocław
Z nierówności między średnią kwadratową a średnią arytmetyczną masz
\sqrt{ \frac{a_{1}^{2}+...+a_{1000}^{2}}{1000}} \ge  \frac{a_{1}+...+a_{1000}}{1000}=2,5 . Podnosisz stronami do kwadratu i mnożysz przez 1000.
Pozdrawiam serdecznie.

Aha, ta nierówność to jest Jensen dla wklęsłej f(t)=\sqrt{t} i argumentów a_{1}^{2},...a_{1000}^{2}:
\sqrt{ \frac{a_{1}^{2}+...+a_{1000}^{2}}{1000}} \ge  \frac{|a_{1}|+...+|a_{1000}|}{1000} \ge  \frac{a_{1}+...+a_{1000}}{1000}, [pierwsza nierówność to Jensen, druga to wielokrotne \left| x\right| \ge x), więc można powiedzieć, że to jest rozwiązanie zarazem z Jensena i bez Jensena. :lol:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lut 2016, o 21:40 
Gość Specjalny

Posty: 3008
Lokalizacja: Gołąb
Raczej chodziło o czystego Jensena, mianowicie:
Niech f\left(x\right)=x^{2}-x. Funkcja ta jest oczywiście wypukła więc z nierówności Jensena mamy:
\sum_{i=1}^{1000} a_{i}^{2}-a_{i} = \sum_{i=1}^{1000}f\left(a_{i}\right) \ge 1000 \cdot f\left(\frac{\sum_{i=1}^{1000} a_{i}}{1000} \right) = 1000 \cdot f\left(2.5\right) = 3750
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 dowód na 1+1=2  bisz  21
 Wykazanie nierówności - zadanie 14  ann_mary  1
 Nierownosc Czebyszewa - kiedy rownosc?  Linka  1
 Udowodnienie nierownosci  Artek101  15
 Nierówność - zadanie 9  koala  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl