szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lut 2016, o 17:21 
Użytkownik

Posty: 32
Lokalizacja: W-wa
Niech n,  n_{1}, ... n_{k}  \in N takie, że \sum_{i = 1}^{k}  n_{i} = n. na płaszczyźnie narysowanych jest n prostych, które można podzielić na k grup w ten sposób, że każde dwie proste z tej samej grupy są równoległe, a każde dwie proste z różnych grup nie są równoległe. W i-tej grupie jest n_{i} prostych. Dodatkowo żadne trzy punkty nie przecinają się w jednym punkcie. Wykazać, że liczba punktów przecięć narysowanych prostych wynosi \frac{ n^{2} -  \sum_{i=1}^{k} n_{i}^{2} }{2}.
Nie mam pojęcia jak rozwiązać to zadanie.

Edit: Już wymyśliłem rozwiązanie, być może komuś się przyda, więc napiszę. Po pierwsze wszystkich możliwych punktów przecięcia jest n^{2}. Jednak od tych przypadków należy odjąć punkty przecięcia wszystkich prostych równoległych z sobą (a właściwie ich brak), co stanowi \sum_{i=1}^{k} n_{i}^{2} }. Ponadto zauważmy, że dwukrotnie policzyliśmy punkty przecięcia tych samych prostych (analogicznie do ilości przekątnych w wielokącie foremnym).
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lut 2016, o 18:39 
Użytkownik

Posty: 14746
Lokalizacja: Bydgoszcz
No to weźmy n_1=n_2=1. Mamy n=2 proste nierównoległe. Twierdzisz, że przecinają się one w czterech punktach?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lut 2016, o 18:48 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6122
Może tak:
Ilość punktów przecięć grup o liczności n_{x} i n_{y} to n_{x}n_{y} stąd ilość wszystkich przecięć (I) to :
I= \left[ x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+...+x_1x_{k}\right] +\left[ x_2x_3+x_2x_4+ ... +x_2x_{k}\right]+.....+\left[ x_{k-1}x_{k}\right]  =\\=
 \frac{1}{2} \left\{ \left[ 2x_1x_2+2x_1x_3+2x_1x_4+...+2x_1x_{k}\right] +\left[ 2x_2x_3+2x_2x_4+...+2x_2x_{k}\right]+..... +\left[ 2x_{k-1}x_{k}\right]
\right\}=
= \frac{1}{2} \left\{ (x_1+x_2+x_3+...+x_{k})^2-(x_1^2+x_2^2+x_3^2+...+x_{k}^2)\right\}= \frac{1}{2}  \left( n^2- \sum_{i=1}^{k} x_{i}^2\right)

Edit:
n^2=(x_1+x_2+x_3+...+x_{k})^2=x_1^2+2x_1(x_2+x_3+...+x_{k})+(x_2+x_3+...+x_{k})^2=\\
=x_1^2+2x_1(x_2+x_3+...+x_{k})+x_2^2+2x_2(x_3+...+x_{k})+(x_3+...+x_{k})^2=....
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lut 2016, o 18:55 
Użytkownik

Posty: 32
Lokalizacja: W-wa
a4karo, zadanie polega na tym, że w każdej kolejnej grupie prostych jest o jedna więcej, więc sytuacja przez Ciebie opisana nie wystąpi. Dla i = 2, będą 3 proste, z tego dwie równoległe, a punkty przecięć będą dwa
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lut 2016, o 19:07 
Użytkownik

Posty: 14746
Lokalizacja: Bydgoszcz
A kto powiedział (w zadaniu), że te grupy mają różna liczebność?

Ale ok: n_1=1,  n_2=2 dwie proste równoległe + trzecia nierównoległ.

Trzy proste na płaszczyznie maja góra 3 punkty przecięcia (więc nie 9, jak sądzisz.)

Wskazuję Ci, żę dowód, który podałeś nie jest poprawny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lut 2016, o 23:20 
Użytkownik

Posty: 32
Lokalizacja: W-wa
W zadaniu rozważamy proste takie, że w i-tej grupie jest n_{i}^{2} prostych, w domyśle równoległych, czyli kolejno jedną prostą, dwie proste wzajemnie równolegle nie równoległe do pierwszej, itd. W związku z tym nie będzie przypadku, kiedy proste przetną się w trzech punktach, tylko kolejno dla będą to 2 punkty dla i=2, 11 punktów dla i=3 itd. co wynika ze wzoru. Mój dowód zakłada, że idziemy od ogólnego przypadku, tak jak podałeś, dowolnych prostych, do przypadku z zadania.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Punkty przecięcia prostych - zadanie 4  mdcbnmw2000  2
 Punkty przecięcia prostych - zadanie 3  billythekid  1
 Punkty przecięcia prostych  Prefix1992  2
 Punkty przecięcia prostych - zadanie 2  yamka  6
 Punkty w sześcianie  patry93  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl