szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lut 2016, o 18:05 
Użytkownik

Posty: 73
Wykaż, że liczba 5^{100} + 5^{75} + 5^{50} + 5^{25} +1 jest złożona. Wiem, że podobny temat już był na forum - 294836.htm , aczkolwiek napisanie układu równań współczynników, o którym mowa w rozwiązaniu, przerasta mnie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lut 2016, o 19:11 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10588
Lokalizacja: Wrocław
Ale co takiego przerasta Twoje możliwości?
Jeśli te piątki za bardzo Ci mieszają, to podstaw t=5^{25} i masz do rozwiązania układ równań powstały z równości
(t^{2}+at+b)(t^{2}+ct+d)=t^{4}+t^{3}+t^{2}+t+1. b i d muszą być albo obie jedynkami, albo minus jedynkami. No to wymnażasz (najlepiej w pamięci, bo lasuf szkoda) i przyrównujesz współczynniki przy odpowiednich potęgach.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lut 2016, o 19:36 
Użytkownik

Posty: 73
Ok, jest mi wstyd. Robiłem podobny rachunek wcześniej, ale musiałem mieć jakieś zaćmienie. Dopiero teraz mnie olśniło.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2016, o 16:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10588
Lokalizacja: Wrocław
Przepraszam, napisałem straszne bzdury, to nic nie daje, bo kerajs napisał mi, że współczynniki wychodzą niewymierne (w sumie od razu powinienem to widzieć).
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 lut 2016, o 19:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2505
Skąd takie zadania się w ogóle biorą? Dzielniki pierwsze to 3 597 751, 28 707 251, 4 032 808 198 751, 767 186 663 625 251, 24 687 045 214 139 234 043 375 683 501. Żaden z nich nie przypomina t = 5^{25} = 298023223876953125.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2016, o 23:54 
Gość Specjalny

Posty: 3010
Lokalizacja: Gołąb
Cytuj:
Skąd takie zadania się w ogóle biorą?


To zadanie jest na pewno w niebieskim Pawłowskim. Na pewno. Zadanie pochodzi więc z jakiejś olimpiady z państwa X z Y lat wstecz :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lut 2016, o 00:04 
Moderator

Posty: 1902
Lokalizacja: Trzebiatów
Korea południowa - rok 92 - MOM.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lut 2016, o 00:09 
Użytkownik

Posty: 7345
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Ale przypominają Medea 5^n+5^m+1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lut 2016, o 02:19 
Użytkownik

Posty: 556
Lokalizacja: Polska
Premislav dobrze zaczął.

t^4+t^3+t^2+t+1=(t^2 +3t+1)^2-5t(t+1)^2

Dla t=5^{25} mamy
(t^2+3t+1-5^{13}(t+1))(t^2+3t+1+5^{13}(t+1))
=x \cdot y
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lut 2016, o 10:00 
Użytkownik

Posty: 7345
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Elayne.
Jak na to wpadłeś?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lut 2016, o 13:19 
Użytkownik

Posty: 73
Niekoniecznie zadanie olimpijskie...
http://www.1lojaslo.pl/KonkursPodkarpac ... -final.pdf
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lut 2016, o 15:50 
Użytkownik

Posty: 556
Lokalizacja: Polska
1=5^{0 \cdot 5^2}=n^{0 \cdot n^2}\\
5^{25}=5^{1 \cdot 5^2}=n^{1 \cdot n^2}\\
5^{50}=5^{2 \cdot 5^2}=n^{2 \cdot n^2}\\
5^{75}=5^{3 \cdot 5^2}=n^{3 \cdot n^2}\\
5^{100}=5^{4 \cdot 5^2}=n^{4 \cdot n^2}\\
\\
n^{0 \cdot n^2}+n^{1 \cdot n^2}+n^{2 \cdot n^2}+n^{3 \cdot n^2}+n^{4 \cdot n^2}=(n^{2n^2}+3n^{n^2}+1)^2 - 5n^{n^2}(1+n^{n^2})^2

t=n^{n^2}=5^{25}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 Dowód na poprawność zasady podzielności przez 9  magik100  12
 (2 zadania) Suma cyfr liczby trzycyfrowej.  Anonymous  1
 Różnica cyfr pewnej liczby wynosi 5 ... Znajdź tę liczb  Tomasz B  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl