szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2016, o 12:50 
Użytkownik

Posty: 49
Lokalizacja: ~Poznań
Jaka jest różnica pomiędzy zbiorem wartości funkcji a jej przeciwdziedziną? Czy zbiór wartości zawsze zawiera się w przeciwdziedzinie? Czy dla funkcji f(x) = x^2, określonej dla liczb rzeczywistych, przeciwdziedziną jest tylko zbiór liczb rzeczywistych? Proszę o przyziemne wytłumaczenie i przykład, który będzie możliwy do zrozumienia przez licealistę.

Pozdrawiam
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2016, o 14:29 
Moderator

Posty: 3926
Lokalizacja: Kraków PL
Wyjaśnienie masz tu: ... nazywa się czasem ... chociaż właściwszym stwierdzeniem ... .
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2016, o 16:37 
Użytkownik

Posty: 327
Lokalizacja: Rzeszów
Podawanie przeciwdziedziny nie jest sprawą konieczną, choć dobrze jest podać do jakiego zbioru wpadają na pewno wartości funkcji. Dla funkcji podanej przez ciebie f(x) = x^2 \hbox { dla } x\in\mathbb{R} można przyjąć że przeciwdziedziną jest \mathbb{R}, bo wartościami funkcji są liczby (nie zawsze tak musi być)
Natomiast zbiorem wartości funkcji f określonej na D to zbiór \left\{ f\left( x\right) | x\in D\right\} zbiór wszystkich wartości funkcji f,
w naszym przykładzie \left\{  x^{2} | x\in \mathbb{R}\right\} =\mathbb{R} _{+}  \cup \left\{ 0\right\}
geometrycznie patrząc jest to rzut wykresu funkcji na oś y ( nie tylko tak dla tej funkcji, można tak dla każdej funkcji, której wykres możesz sporządzić na układzie współrzędnych)

Wracając do przeciwdziedziny- ten zbiór \mathbb{R} _{+} \cup \left\{ 0\right\} można również przyjąć za przeciwdziedzinę, wtedy funkcja jest 'na' ten zbiór
Za przeciwdziedzinę można obrać zatem jakikolwiek zbiór zawierający wszystkie wartości funkcji, czyli Y\supset   \mathbb{R} _{+} \cup \left\{ 0\right\}
Zbiór wartości natomiast jest stały dla danej funkcji, czyli w naszym przykładzie odpowiedzi nie można zmienić.
nicrovishion napisał(a):
Czy zbiór wartości zawsze zawiera się w przeciwdziedzinie?

Tak, jest to jedyna istotna rzecz ( formalnie) przy doborze przeciwdziedziny.

Podam jako ciekawostkę jeszcze dlaczego podawanie przeciwdziedziny jest mniej ważne
Otóż jeżeli masz funkcję f: X  \stackrel{na}{\rightarrow} Y
To powiększając jedynie przeciwdziedzinę do zbioru Z\supset Y otrzymasz tą samą funkcję
Nie wpływasz bowiem na przyporządkowania, a więc nie wpływasz na funkcję, dorzucasz tylko elementy

I jeszcze jedna ciekawostka
Podając funkcję y=f\left( x\right) \hbox{ dla } x\in X, lecz nie podając przeciwdziedziny, jesteśmy w stanie ją wyznaczyć korzystając z aksjomatu zastępowania teorii mnogości
Z aksjomatu zastępowania wynika istnienie zbioru wartości tej funkcji, możemy obrać go za przeciwdziedzinę, funkcja będzie "na" i jest
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2016, o 17:45 
Administrator

Posty: 21370
Lokalizacja: Wrocław
Jakub Gurak napisał(a):
Podawanie przeciwdziedziny nie jest sprawą konieczną, choć dobrze jest podać do jakiego zbioru wpadają na pewno wartości funkcji.

Może być sprawą konieczną - to zależy, jakiej definicji funkcji używamy (i w jakim kontekście).

Jakub Gurak napisał(a):
I jeszcze jedna ciekawostka
Podając funkcję y=f\left( x\right) \hbox{ dla } x\in X, lecz nie podając przeciwdziedziny, jesteśmy w stanie ją wyznaczyć korzystając z aksjomatu zastępowania teorii mnogości
Z aksjomatu zastępowania wynika istnienie zbioru wartości tej funkcji, możemy obrać go za przeciwdziedzinę, funkcja będzie "na" i jest

No to jest jednak uproszczenie - ideologicznie poprawne, formalnie nie.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2016, o 21:14 
Użytkownik

Posty: 327
Lokalizacja: Rzeszów
Jan Kraszewski napisał(a):
Może być sprawą konieczną - to zależy, jakiej definicji funkcji używamy (i w jakim kontekście).


W kontekście funkcji "na" to tak.

Pragnę jednak zauważyć, że jeżeli mamy funkcję f: X \stackrel{na}{\rightarrow }Y
to zmieniając jedynie przeciwdziedzinę otrzymamy tą samą funkcję, Obojętne bowiem jest czy za przeciwdziedzinę weźmiemy zbiór wartości Y, czy jakiś większy zbiór, gdyż nie wpływa to na przyporządkowania.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2016, o 22:41 
Administrator

Posty: 21370
Lokalizacja: Wrocław
Jakub Gurak napisał(a):
Pragnę jednak zauważyć, że jeżeli mamy funkcję f: X \stackrel{na}{\rightarrow }Y
to zmieniając jedynie przeciwdziedzinę otrzymamy tą samą funkcję, Obojętne bowiem jest czy za przeciwdziedzinę weźmiemy zbiór wartości Y, czy jakiś większy zbiór, gdyż nie wpływa to na przyporządkowania.

Nie zgadzam się. To zależy od definicji funkcji. Jedna z definicji funkcji zawiera w sobie trzy informacje: dziedzinę, przeciwdziedzinę (zbiory przekształcane) i funkcję jako odpowiedni podzbiór ich produktu. Wtedy zmiana przeciwdziedziny jest zmianą funkcji, bo inne zbiory są przekształcane.

Ty używasz definicji, w której nacisk kładziony jest na fakt przekształcania i traktuje się ją po prostu jako zbiór par, a zbiory przekształcane są tu wtórne. I to do tej sytuacji pasuje Twoja powyższa uwaga.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 mar 2016, o 23:43 
Użytkownik

Posty: 327
Lokalizacja: Rzeszów
Zgoda
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbiór wartości funkcji  the moon  1
 Wykresy funkcji, srodek odcinka  1exam  4
 Dowód funkcji monotonicznej ujemnej  Anonymous  3
 Składanie i parzystość funkcji-2 zadania.  qkiz  1
 Zbadac parzystosc i nieparzystosc funkcji  pangucio  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl