szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sie 2007, o 15:39 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Dziwnów
Udowodnić, że jeżeli n jest liczbą całkowitą nieujemną, to liczba

5^{2n+1}\cdot2^{n+2}+3^{n+2}\cdot2^{2n+1} jest podzielna przez 19

Męczę się i nic mi nie wychodzi.

Temat przeniosłem i nieco poprawiłem nazwę tematu.
luka52
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sie 2007, o 16:42 
Użytkownik

Posty: 61
Lokalizacja: Kędzierzyn-Koźle
Kurczę, doszedłem do tego, że:
10 \cdot 5^{2n} + 9 \cdot 6^{n}

Ma być podzielne przez 19, lecz nie wiem jak to przekształcić(kurczę, no :D ), przedstawię pełen dowód, jeśli będziesz chciał i pokombinuję trochę więcej, żeby obmyślić ten wzór( albo ktoś poda to przede mną).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sie 2007, o 16:50 
Gość Specjalny

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Najłatwiej z indukcji. Sprawdzasz dla n=0.
Zakładamy 5^{2n+1}*2^{n+2}+3^{n+2}*2^{2n+1}=19k
Tu już razem teza i dowód:
5^{2n+3}*2^{n+3}+3^{n+3}*2^{2n+3}=50*5^{2n+1}*2^{n+2}+12*3^{n+2}*2^{2n+1}
=12*19k+38*5^{2n+1}*2^{n+2}=19*(12k+2*5^{2n+1}*2^{n+2})=19s c.n.d. :wink:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sie 2007, o 17:08 
Użytkownik

Posty: 61
Lokalizacja: Kędzierzyn-Koźle
Heh, przez indukcję to łatwo i dlatego jej nie lubię :) , za łatwo. Staram się znaleźć trudniejszy dowód, bo wtedy jest more fun :P Wiesz jak przekształcić ten wzór? Aż dziwnie za ładnie w nim widać, że dzieli się przez 19.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sie 2007, o 17:17 
Gość Specjalny

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Nie wiem o co Ci właściwie chodzi z przekształcaniem tego wzoru. Nawet jak będziesz przekształcał tutaj nie wiadomo jak, to i tak w pewnym momencie będziesz musiał udowodnić podzielność części wyrażenia przez 19 z indukcji. Uwierz mi, że tu bawiąc się np. kongruencjami do niczego przyjemnego nie dojdziesz :wink:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sie 2007, o 20:22 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2357
Czemu kongruencjami do niczego nie dojdzie?
Chcemy wykazać, że 10 \cdot 25^n + 9 \cdot 6^n \equiv 0 ( \mod 19). Mamy:
25 \equiv 6 ( \mod 19) \\ 25^n \equiv 6^n ( \mod 19) \\ 10 \cdot 25^n \equiv 10 \cdot 6^n ( \mod 19) \\ 10 \cdot 25^n + 9 \cdot 6^n \equiv 10 \cdot 6^n + 9 \cdot 6^n =19 \cdot 6^n \equiv 0 ( \mod 19)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sie 2007, o 20:26 
Gość Specjalny

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Ah, sorry racja. Po prostu patrzyłem na jego poprzedni wzór, gdzie5 było w potędze n, a nie 2n. :wink:
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wykazywanie podzielności.  bajdec  1
 Zadania dotyczące podzielności - zadanie 2  mikoarm  20
 Pytanie w sprawie podzielności  Hołek  6
 Suma liczb naturalnych - zadanie  Anonymous  2
 Dowód podzielności przez 9  lepaaa  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl