szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 mar 2016, o 15:43 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Warszawa
Znajdź funkcję tworzącą ciągu:
a. a_{n}=7 \cdot  5^{n+1}  ,  n=0,1,...
b. a_{n}=3n-3,  n=0,1,...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 mar 2016, o 15:03 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 58
Lokalizacja: Kraków
Definiujemy funkcję tworzącą dla pierwszego ciągu a_n i liczymy:
\sum_{n=0}^{ \infty }a_n x^n=\sum_{n=0}^{ \infty }7\cdot 5^{n+1}x^n=7\cdot \sum_{n=0}^{ \infty }5^{n+1}x^n=7\cdot \left( 5+\sum_{n=1}^{ \infty } 5^{n+1}x^{n}\right)==7\cdot \left( 5+\sum_{n=0}^{ \infty } 5^{n+2}x^{n+1}\right)=7\cdot \left( 5+\sum_{n=0}^{ \infty } 5x \cdot 5^{n+1}x^{n}\right) =7\cdot \left( 5+ 5x\cdot \sum_{n=0}^{ \infty } 5^{n+1}x^{n}\right)
Jeżeli oznaczymy sumę \sum_{n=0}^{ \infty }5^{n+1} x^n=f(x), to wtedy:
7\cdot f(x)=7\cdot \left( 5+5x\cdot f(x)\right)
f(x)=5+5x\cdot f(x)
O ile się nie pomyliłem to teraz wystarczy rozwiązać proste równanie ze względu na f(x), oczywiście przy jakichś tam założeniach, tutaj |x|< \frac{1}{5} \wedge x \neq  \frac{1}{5}. Spróbuj drugie zrobić sam, jak nie będzie wychodzić to coś się poradzi.

~edit
Przy tych oznaczeniach szukana funkcja tworząca G(x)=7\cdot f(x). Można było też od razu wyłączyć 35 zamiast 7 przed nawias, albo nie wyłączać nic dla świętego spokoju.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 kwi 2016, o 14:11 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6622
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
a_{n}=3n-3,  n=0,1,...\\
a_{n}=3\left( n+1\right)-6\\
A\left( x\right)=\left(  \sum_{n=0}^{ \infty }{3\left( n+1\right) x^n} \right) - \sum_{n=0}^{ \infty }{6x^n}\\
  A\left( x\right)= \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x } \left(  \sum_{n=0}^{ \infty }{3x^n} \right) - \sum_{n=0}^{ \infty }{6x^n}\\
A\left( x\right)=\frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }\left( \frac{3}{1-x}\right)-\frac{6}{1-x}\\
 A\left( x\right)=\frac{3}{\left( 1-x\right)^2 }-\frac{6}{1-x}\\
A\left( x\right)=\frac{6\left( x-1\right)+3 }{\left( 1-x\right)^2 }\\
A\left( x\right)=\frac{6x-3}{\left( 1-x\right)^2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 kwi 2016, o 23:05 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Warszawa
czy z tego \left(  \sum_{n=0}^{ \infty }{3\left( n+1\right) x^n} \right)
nie powinno wyjść \frac{3x}{\left( 1-x\right)^2 }
nie zgubił się x
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 kwi 2016, o 23:50 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6622
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
bongo+, nie

\sum_{n=0}^{ \infty }x^{n}=\frac{1}{1-x}\\
 \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }\left(\sum_{n=0}^{ \infty }x^{n} \right) = \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }  \left(  \frac{1}{1-x} \right) \\
 \sum_{n=0}^{ \infty }{nx^{n-1}} =-\frac{1}{\left( 1-x\right)^2 } \cdot \left( -1\right) \\
\sum_{n=1}^{ \infty }{nx^{n-1}} =\frac{1}{\left( 1-x\right)^2 }\\
\sum_{n=0}^{ \infty }{\left( n+1\right) x^{n}} =\frac{1}{\left( 1-x\right)^2 }\\

\sum_{n=0}^{ \infty }x^{n}=\frac{1}{1-x}\\
 \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }\left(\sum_{n=0}^{ \infty }x^{n} \right) = \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }  \left(  \frac{1}{1-x} \right) \\
 \sum_{n=0}^{ \infty }{nx^{n-1}} =-\frac{1}{\left( 1-x\right)^2 } \cdot \left( -1\right) \\
\sum_{n=0}^{ \infty }{nx^{n}} =\frac{x}{\left( 1-x\right)^2}

Gdy będziesz dalej różniczkował to powinno ci wyjść

\frac{k!}{\left( 1-ax\right)^{k+1} }= \sum_{n=0}^{ \infty }{ \prod_{i=1}^{k}\left( n+i\right)  a^nx^n}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 kwi 2016, o 23:58 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Warszawa
Już rozumiem.
Dzięki
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Znajdź funkcję tworzącą  nwnuinr  1
 Znajdź wyraz ogólny ciągu, którego funkcją tworzącą jest  Tybias  4
 Znajdź wzór jawny używając funkcji tworzących, gdzie błąd?  Jajecznica  1
 Funkcje Tworzące - zadanie 4  spinaczo  0
 funkcja tworząca ciąg fibonacciego  JakubCh  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl